GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡x))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin x}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact o soluție în intervalul (0,π)(0, \pi). c) Determinați punctele de pe graficul funcției g(x)=f(x)+1xg(x) = f(x) + \frac{1}{x} în care tangenta este paralelă cu dreapta y=−xy = -x.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Derivata compusă: f′(x)=1arctan⁡(1+esin⁡x)⋅11+(1+esin⁡x)2⋅121+esin⁡x⋅esin⁡x⋅cos⁡xf'(x) = \frac{1}{\arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin x}} \right)} \cdot \frac{1}{1 + \left( \sqrt{1 + e^{\sin x}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + e^{\sin x}}} \cdot e^{\sin x} \cdot \cos x
22 puncte
Simplificare: f′(x)=esin⁡xcos⁡x21+esin⁡x(2+esin⁡x)arctan⁡(1+esin⁡x)f'(x) = \frac{e^{\sin x} \cos x}{2\sqrt{1 + e^{\sin x}} \left( 2 + e^{\sin x} \right) \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin x}} \right)}
32 puncte
f′(x)=0⇔cos⁡x=0f'(x)=0 \Leftrightarrow \cos x = 0. Pe (0,π)(0,\pi), singura soluție este x=π2x = \frac{\pi}{2} (unică și verificabilă prin semnul derivatei)
42 puncte
g′(x)=f′(x)−1x2g'(x) = f'(x) - \frac{1}{x^2}. Condiția de paralelism: g′(x)=−1g'(x) = -1
52 puncte
Ecuația esin⁡xcos⁡x21+esin⁡x(2+esin⁡x)arctan⁡(1+esin⁡x)−1x2=−1\frac{e^{\sin x} \cos x}{2\sqrt{1 + e^{\sin x}} \left( 2 + e^{\sin x} \right) \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin x}} \right)} - \frac{1}{x^2} = -1. Se observă că x=1x=1 este soluție (verificare numerică/analitică). Punctul: (1,g(1))(1, g(1)).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.