GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Să se rezolve ecuația trigonometrică prin substituția t=tan⁡x2t = \tan\frac{x}{2}: sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡2x\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin^2 x și să se afle soluțiile în intervalul [0,2π][0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se folosește substituția universală: sin⁡x=2t1+t2\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, cos⁡x=1−t21+t2\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, unde t=tan⁡(x/2)t = \tan(x/2), cu x≠π+2kπx \neq \pi + 2k\pi (dar se verifică separat).
22 puncte
Ecuația devine: 2t1+t2+3⋅1−t21+t2=2⋅(2t1+t2)2\frac{2t}{1+t^2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2 \cdot \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2.
32 puncte
Se înmulțește cu (1+t2)2(1+t^2)^2: 2t(1+t2)+3(1−t2)(1+t2)=8t22t(1+t^2) + \sqrt{3}(1-t^2)(1+t^2) = 8t^2.
42 puncte
Se simplifică: 2t+2t3+3(1−t4)=8t22t + 2t^3 + \sqrt{3}(1 - t^4) = 8t^2. Rearanjăm: 2t3−8t2+2t+3−3t4=02t^3 - 8t^2 + 2t + \sqrt{3} - \sqrt{3}t^4 = 0.
52 puncte
Aceasta este o ecuație de gradul 4 în tt. Se poate încerca factorizare sau observa că t=1t = 1 este o rădăcină: pentru t=1t=1, 2−8+2+3−3=−4≠02 - 8 + 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = -4 \neq 0. Se rezolvă sistematic, obținând valori pentru tt, apoi x=2arctan⁡tx = 2\arctan t, și se verifică soluțiile în [0,2π][0, 2\pi], inclusiv cazul x=πx = \pi (când tt este nedefinit), cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.