GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se discute după valorile lui aa numărul de soluții ale ecuației trigonometrice: sin⁡4x+cos⁡4x=a(sin⁡2x+cos⁡2x)+12sin⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = a(\sin^2 x + \cos^2 x) + \frac{1}{2}\sin 2x în intervalul [0,2π][0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se exprimă sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=1−12sin⁡22x\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x. Ecuația devine: 1−12sin⁡22x=a+12sin⁡2x1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = a + \frac{1}{2}\sin 2x.
22 puncte
Notăm t=sin⁡2xt = \sin 2x, cu t∈[−1,1]t \in [-1, 1]. Ecuația devine: 1−12t2=a+12t1 - \frac{1}{2}t^2 = a + \frac{1}{2}t, adică t2+t+2a−2=0t^2 + t + 2a - 2 = 0.
32 puncte
Discriminantul: Δ=1−4(2a−2)=9−8a\Delta = 1 - 4(2a - 2) = 9 - 8a. Condiții: Δ≥0\Delta \geq 0 pentru soluții reale în tt, deci a≤98a \leq \frac{9}{8}.
42 puncte
Rădăcinile: t1,2=−1±9−8a2t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 8a}}{2}. Se analizează câte valori t∈[−1,1]t \in [-1, 1] se obțin în funcție de aa, folosind condiții ca t1,2∈[−1,1]t_{1,2} \in [-1, 1].
52 puncte
Pentru fiecare tt valid, ecuația sin⁡2x=t\sin 2x = t are un număr de soluții în [0,2π][0, 2\pi]: 2 soluții dacă ∣t∣<1|t| < 1, 4 soluții dacă t=±1t = \pm 1 (cu excepții la limite), 0 altfel. Se face discuția completă pe aa: de exemplu, pentru a<−12a < -\frac{1}{2}: 0 soluții; pentru a=−12a = -\frac{1}{2}: 2 soluții; etc., cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.