GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie In=∫0π/2cos⁡nx⋅sin⁡(nx)dxI_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \cdot \sin(nx) dx, n≥1n \geq 1. a) Demonstrați relația de recurență In+1=nn+2In−1I_{n+1} = \frac{n}{n+2} I_{n-1} pentru n≥2n \geq 2. b) Calculați InI_n pentru nn par. c) Studiați convergența șirului (In)(I_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se integrează prin părți: In=∫0π/2cos⁡nxsin⁡(nx)dxI_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \sin(nx) dx, cu u=sin⁡(nx)u = \sin(nx), dv=cos⁡nxdxdv = \cos^n x dx
22 puncte
Derivata: du=ncos⁡(nx)dxdu = n \cos(nx) dx, iar v=∫cos⁡nxdxv = \int \cos^n x dx nu e elementară direct. Se folosește identitatea sin⁡(nx)=Im⁡(einx)\sin(nx) = \operatorname{Im}(e^{inx}) și cos⁡x=eix+e−ix2\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, dar e complicat. Alternativ, se derivează recurența din integrarea prin părți a lui In+1I_{n+1}: In+1=∫0π/2cos⁡n+1xsin⁡((n+1)x)dxI_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x \sin((n+1)x) dx, se scrie cos⁡n+1x=cos⁡nx⋅cos⁡x\cos^{n+1} x = \cos^n x \cdot \cos x, și se folosește sin⁡((n+1)x)=sin⁡(nx)cos⁡x+cos⁡(nx)sin⁡x\sin((n+1)x) = \sin(nx) \cos x + \cos(nx) \sin x
32 puncte
In+1=∫0π/2cos⁡nx(sin⁡(nx)cos⁡2x+cos⁡(nx)sin⁡xcos⁡x)dx=∫0π/2cos⁡nxsin⁡(nx)cos⁡2xdx+∫0π/2cos⁡nxcos⁡(nx)sin⁡xcos⁡xdxI_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \cos^n x (\sin(nx) \cos^2 x + \cos(nx) \sin x \cos x) dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \sin(nx) \cos^2 x dx + \int_0^{\pi/2} \cos^n x \cos(nx) \sin x \cos x dx
42 puncte
Primul termen: ∫0π/2cos⁡nxsin⁡(nx)(1−sin⁡2x)dx=In−∫0π/2cos⁡nxsin⁡(nx)sin⁡2xdx\int_0^{\pi/2} \cos^n x \sin(nx) (1-\sin^2 x) dx = I_n - \int_0^{\pi/2} \cos^n x \sin(nx) \sin^2 x dx. Al doilea termen: se integrează prin părți sau se notează Jn=∫0π/2cos⁡nxcos⁡(nx)sin⁡xdxJ_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \cos(nx) \sin x dx. Prin calcule, se obține In+1=In−1n+1In+1+1n+1In−1I_{n+1} = I_n - \frac{1}{n+1} I_{n+1} + \frac{1}{n+1} I_{n-1}, de unde In+1=nn+2In−1I_{n+1} = \frac{n}{n+2} I_{n-1}
51 punct
Pentru nn par, n=2kn=2k, I2k=2k−12k+1I2k−2=(2k−1)!!(2k+1)!!I0I_{2k} = \frac{2k-1}{2k+1} I_{2k-2} = \frac{(2k-1)!!}{(2k+1)!!} I_0, cu I0=∫0π/2sin⁡(0)dx=0I_0 = \int_0^{\pi/2} \sin(0) dx = 0, deci I2k=0I_{2k} = 0
61 punct
Convergența: In→0I_n \to 0 prin teorema convergenței dominate, deoarece ∣cos⁡nxsin⁡(nx)∣≤1⋅1=1|\cos^n x \sin(nx)| \leq 1 \cdot 1 = 1 și cos⁡nx→0\cos^n x \to 0 aproape peste tot.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.