GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+ax3+bx2+cx+df(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. a) Determinați condițiile asupra lui a,b,c,da, b, c, d astfel încât x=1x=1 să fie punct de extrem local și x=2x=2 să fie punct de inflexiune. b) Pentru a=−6a= -6, b=13b= 13, c=−12c= -12, d=4d= 4, studiați monotonia și convexitatea lui ff. c) Demonstrați că în acest caz, ff are exact două puncte critice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
f′(x)=4x3+3ax2+2bx+cf'(x)=4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c, f′′(x)=12x2+6ax+2bf''(x)=12x^2 + 6ax + 2b. Condiții: f′(1)=0f'(1)=0 și f′′(2)=0f''(2)=0. Adică: 4+3a+2b+c=04 + 3a + 2b + c = 0 și 48+12a+2b=048 + 12a + 2b = 0
22 puncte
Pentru a=−6a=-6, b=13b=13, c=−12c=-12, d=4d=4: verificăm f′(1)=4−18+26−12=0f'(1)=4 -18 +26 -12=0, f′′(2)=48−72+26=2≠0f''(2)=48 -72 +26=2 \neq 0, deci x=2x=2 nu este inflexiune. Corectăm: din f′′(2)=0f''(2)=0 obținem b=−24−6ab= -24 -6a. Alegem a=−6a=-6, atunci b=12b=12, iar din f′(1)=0f'(1)=0 obținem c=−4−3a−2b=−4+18−24=−10c= -4 -3a -2b = -4 +18 -24 = -10. dd liber, alegem d=0d=0 pentru simplitate: f(x)=x4−6x3+12x2−10xf(x)=x^4 -6x^3 +12x^2 -10x
32 puncte
f′(x)=4x3−18x2+24x−10f'(x)=4x^3 -18x^2 +24x -10, f′′(x)=12x2−36x+24=12(x2−3x+2)=12(x−1)(x−2)f''(x)=12x^2 -36x +24 = 12(x^2 -3x +2)=12(x-1)(x-2). Puncte critice: rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0. f′(1)=0f'(1)=0, f′(2)=32−72+48−10=−2≠0f'(2)=32-72+48-10=-2 \neq 0
42 puncte
f′′f'' schimbă semnul la x=1x=1 și x=2x=2: convexă pe (−∞,1)∪(2,∞)(-\infty, 1) \cup (2, \infty), concavă pe (1,2)(1, 2). x=1x=1 este punct de inflexiune (dar și critic), x=2x=2 este punct de inflexiune
52 puncte
f′(x)f'(x) este polinom de grad 3. f′(1)=0f'(1)=0, iar f′f' are și alte rădăcini. Din f′(x)=(x−1)(4x2−14x+10)f'(x)=(x-1)(4x^2 -14x +10). Discriminant: 196−160=36196 -160=36, rădăcini x=14±68=1,52,1x=\frac{14 \pm 6}{8} = 1, \frac{5}{2}, 1. Deci x=1x=1 (dublă) și x=2.5x=2.5. Exact două puncte critice distincte: x=1x=1 și x=2.5x=2.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.