GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(a101a101a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați aa astfel încât AA să fie inversabilă. b) Pentru a=2a=2, calculați det⁡(A3)\det(A^3) și tr(A5)\text{tr}(A^5) folosind teorema Cayley-Hamilton. c) Găsiți polinomul minimal al lui AA pentru a=2a=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
det⁡(A)=a⋅∣a11a∣−1⋅∣110a∣+0=a(a2−1)−1(a−0)=a3−a−a=a3−2a=a(a2−2)\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0 = a(a^2 - 1) - 1(a - 0) = a^3 - a - a = a^3 - 2a = a(a^2 - 2). AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci a≠0a \neq 0 și a≠±2a \neq \pm\sqrt{2}.
22 puncte
Pentru a=2a=2, A=(210121012)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Polinomul caracteristic: PA(λ)=det⁡(A−λI3)=(2−λ)[(2−λ)2−1]−1[(2−λ)−0]=(2−λ)(λ2−4λ+3)−(2−λ)=(2−λ)(λ2−4λ+2)=−λ3+6λ2−10λ+4P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_3) = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 1] - 1[(2-\lambda) - 0] = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (2-\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 10\lambda + 4.
32 puncte
Teorema Cayley-Hamilton: A3−6A2+10A−4I3=O3A^3 - 6A^2 + 10A - 4I_3 = O_3. det⁡(A3)=(det⁡A)3=(23−4)3=(8−4)3=43=64\det(A^3) = (\det A)^3 = (2^3 - 4)^3 = (8-4)^3 = 4^3 = 64.
42 puncte
Pentru tr(A5)\text{tr}(A^5), folosim relația de recurență din Cayley-Hamilton: A3=6A2−10A+4I3A^3 = 6A^2 - 10A + 4I_3. Calculăm A4=A⋅A3=6A3−10A2+4AA^4 = A \cdot A^3 = 6A^3 - 10A^2 + 4A, A5=A⋅A4=6A4−10A3+4A2A^5 = A \cdot A^4 = 6A^4 - 10A^3 + 4A^2. Exprimăm A5A^5 în funcție de A2A^2, AA, I3I_3 și calculăm urma: tr(A5)=6tr(A4)−10tr(A3)+4tr(A2)\text{tr}(A^5) = 6\text{tr}(A^4) - 10\text{tr}(A^3) + 4\text{tr}(A^2). Folosind tr(A)=6\text{tr}(A)=6, tr(A2)=14\text{tr}(A^2)=14, tr(A3)=36\text{tr}(A^3)=36, tr(A4)=98\text{tr}(A^4)=98, obținem tr(A5)=6⋅98−10⋅36+4⋅14=588−360+56=284\text{tr}(A^5)=6\cdot98 - 10\cdot36 + 4\cdot14 = 588 - 360 + 56 = 284.
52 puncte
Polinomul minimal pentru a=2a=2: PA(λ)=(λ−2)(λ2−4λ+2)P_A(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda^2 - 4\lambda + 2). Rădăcinile: 22, 2±22\pm\sqrt{2}. Deoarece AA are valori proprii distincte, polinomul minimal coincide cu cel caracteristic: mA(λ)=λ3−6λ2+10λ−4m_A(\lambda) = \lambda^3 - 6\lambda^2 + 10\lambda - 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.