GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(310031003)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. a) Calculați AnA^n pentru n≥1n \geq 1 folosind formula binomului lui Newton pentru matrice nilpotente. b) Determinați det⁡(eA)\det(e^A), unde eA=∑k=0∞Akk!e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}. c) Rezolvați ecuația det⁡(A−λI3)=0\det(A - \lambda I_3) = 0 și găsiți polinomul minimal al lui AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem A=3I3+NA = 3I_3 + N, unde N=(010001000)N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} este nilpotent de ordin 3 (N3=O3N^3 = O_3). Atunci An=(3I3+N)n=∑k=0n(nk)3n−kNkA^n = (3I_3 + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^{n-k} N^k, dar Nk=O3N^k = O_3 pentru k≥3k \geq 3.
22 puncte
Deci An=3nI3+n3n−1N+n(n−1)23n−2N2A^n = 3^n I_3 + n 3^{n-1} N + \frac{n(n-1)}{2} 3^{n-2} N^2, unde N2=(001000000)N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Explicit: An=(3nn3n−1n(n−1)23n−203nn3n−1003n)A^n = \begin{pmatrix} 3^n & n 3^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2} 3^{n-2} \\ 0 & 3^n & n 3^{n-1} \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}.
32 puncte
eA=∑k=0∞Akk!=∑k=0∞1k!(3kk3k−1k(k−1)23k−203kk3k−1003k)e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} 3^k & k 3^{k-1} & \frac{k(k-1)}{2} 3^{k-2} \\ 0 & 3^k & k 3^{k-1} \\ 0 & 0 & 3^k \end{pmatrix}. det⁡(eA)=etr(A)=e9\det(e^A) = e^{\text{tr}(A)} = e^{9}, deoarece tr(A)=9\text{tr}(A)=9 și proprietatea determinantului exponențialei.
42 puncte
det⁡(A−λI3)=∣3−λ1003−λ1003−λ∣=(3−λ)3\det(A - \lambda I_3) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^3. Ecuația: (3−λ)3=0(3-\lambda)^3=0, deci λ=3\lambda=3 (triplă).
52 puncte
Polinomul caracteristic: PA(λ)=(λ−3)3P_A(\lambda) = (\lambda-3)^3. Matricea AA are un singur bloc Jordan, deci polinomul minimal este mA(λ)=(λ−3)3m_A(\lambda) = (\lambda-3)^3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.