GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Calculați ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx folosind substituția x=tan⁡tx = \tan t. Apoi, deduceți valoarea ∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)dt\int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Substituția x=tan⁡tx = \tan t, dx=sec⁡2tdtdx = \sec^2 t dt, limite: x=0⇒t=0x=0 \Rightarrow t=0, x=1⇒t=π/4x=1 \Rightarrow t=\pi/4
22 puncte
Integrala devine ∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2t⋅sec⁡2tdt=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)dt\int_0^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \cdot \sec^2 t dt = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt
32 puncte
Notăm I=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)dtI = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt. Folosim substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t, atunci tan⁡(π/4−u)=1−tan⁡u1+tan⁡u\tan(\pi/4 - u) = \frac{1-\tan u}{1+\tan u}
42 puncte
I=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡(π4−u))du=∫0π/4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u)du=∫0π/4ln⁡(21+tan⁡u)duI = \int_0^{\pi/4} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right) du = \int_0^{\pi/4} \ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) du = \int_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) du
52 puncte
I=∫0π/4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u))du=π4ln⁡2−II = \int_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1+\tan u)) du = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I, deci 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2. Astfel, ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=π8ln⁡2\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{8} \ln 2

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.