GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Folosind formula de transformare produs-sume, demonstrați inegalitatea: sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤338\sin A \sin B \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} pentru orice unghiuri A,B,CA, B, C cu A+B+C=πA + B + C = \pi și A,B,C≥0A, B, C \geq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se folosește identitatea: sin⁡Asin⁡B=12[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]. Dar A+B=π−CA+B = \pi - C, deci cos⁡(A+B)=−cos⁡C\cos(A+B) = -\cos C.
22 puncte
Atunci sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=12[cos⁡(A−B)+cos⁡C]sin⁡C=12cos⁡(A−B)sin⁡C+12cos⁡Csin⁡C\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos C] \sin C = \frac{1}{2}\cos(A-B)\sin C + \frac{1}{2}\cos C \sin C.
32 puncte
Maximizăm în raport cu cos⁡(A−B)\cos(A-B): deoarece cos⁡(A−B)≤1\cos(A-B) \leq 1, avem sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤12sin⁡C+12cos⁡Csin⁡C=12sin⁡C(1+cos⁡C)\sin A \sin B \sin C \leq \frac{1}{2}\sin C + \frac{1}{2}\cos C \sin C = \frac{1}{2}\sin C (1 + \cos C).
42 puncte
Notăm t=cos⁡Ct = \cos C, cu C∈[0,π]C \in [0, \pi], deci t∈[−1,1]t \in [-1, 1]. Atunci sin⁡C=1−t2\sin C = \sqrt{1 - t^2}. Expresia devine f(t)=121−t2(1+t)f(t) = \frac{1}{2}\sqrt{1 - t^2}(1 + t).
52 puncte
Se maximizează f(t)f(t) pe [−1,1][-1, 1]. Derivata: f′(t)=12[−t1−t2(1+t)+1−t2]=121−t2[−t(1+t)+(1−t2)]=121−t2[−t−t2+1−t2]=121−t2[1−t−2t2]f'(t) = \frac{1}{2}[\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}(1 + t) + \sqrt{1 - t^2}] = \frac{1}{2\sqrt{1 - t^2}}[-t(1+t) + (1 - t^2)] = \frac{1}{2\sqrt{1 - t^2}}[-t - t^2 + 1 - t^2] = \frac{1}{2\sqrt{1 - t^2}}[1 - t - 2t^2]. Se anulează pentru 2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0, cu soluții t=1/2t = 1/2 și t=−1t = -1. Maximul este în t=1/2t = 1/2, f(1/2)=121−1/4(1+1/2)=12⋅32⋅32=338f(1/2) = \frac{1}{2}\sqrt{1 - 1/4}(1 + 1/2) = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}. Egalitatea când A=B=C=π/3A = B = C = \pi/3, cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.