GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Fie x∈(0,π)x \in (0, \pi) astfel încât arcsin⁡(cos⁡x)+arccos⁡(sin⁡x)=π3\arcsin(\cos x) + \arccos(\sin x) = \frac{\pi}{3}. Să se determine xx.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se notează α=arcsin⁡(cos⁡x)\alpha = \arcsin(\cos x), cu α∈[−π2,π2]\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], deci sin⁡α=cos⁡x\sin \alpha = \cos x
22 puncte
Se notează β=arccos⁡(sin⁡x)\beta = \arccos(\sin x), cu β∈[0,π]\beta \in [0, \pi], deci cos⁡β=sin⁡x\cos \beta = \sin x
32 puncte
Din sin⁡α=cos⁡x\sin \alpha = \cos x, avem α=π2−x\alpha = \frac{\pi}{2} - x sau α=x−π2\alpha = x - \frac{\pi}{2} (ținând cont de intervalul lui α\alpha)
42 puncte
Din cos⁡β=sin⁡x\cos \beta = \sin x, avem β=π2−x\beta = \frac{\pi}{2} - x sau β=π2+x\beta = \frac{\pi}{2} + x (ținând cont de intervalul lui β\beta)
51 punct
Ecuația devine α+β=π3\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}. Testând combinațiile, singura validă pentru x∈(0,π)x \in (0, \pi) este α=π2−x\alpha = \frac{\pi}{2} - x și β=π2−x\beta = \frac{\pi}{2} - x, deci (π2−x)+(π2−x)=π3(\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\pi}{3}
61 punct
Rezultă π−2x=π3⇒x=π3\pi - 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.