GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0,\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(1+x2)x−arctan⁡xx2f(x) = \frac{\ln(1+x^2)}{x} - \frac{\arctan x}{x^2}. a) Calculați lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x) și lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x). b) Demonstrați că ff este strict descrescătoare pe (0,∞)(0,\infty). c) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației f(x)=mf(x) = m, în funcție de parametrul real mm.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x): se aplică regula lui l'Hôpital sau dezvoltări limită: ln⁡(1+x2)∼x2\ln(1+x^2) \sim x^2, arctan⁡x∼x\arctan x \sim x, deci f(x)∼x2x−xx2=x−1x→−∞f(x) \sim \frac{x^2}{x} - \frac{x}{x^2} = x - \frac{1}{x} \to -\infty. Corect: lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty. lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 (se compară ordine de creștere)
23 puncte
f′(x)=2x1+x2⋅x−ln⁡(1+x2)x2−11+x2⋅x2−2xarctan⁡xx4f'(x) = \frac{\frac{2x}{1+x^2} \cdot x - \ln(1+x^2)}{x^2} - \frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot x^2 - 2x \arctan x}{x^4}. Simplificare: f′(x)=2x2−(1+x2)ln⁡(1+x2)x2(1+x2)−x2−2x(1+x2)arctan⁡xx4(1+x2)f'(x) = \frac{2x^2 - (1+x^2)\ln(1+x^2)}{x^2(1+x^2)} - \frac{x^2 - 2x(1+x^2)\arctan x}{x^4(1+x^2)}
33 puncte
Se arată că f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>0x>0. Se poate folosi inegalitatea ln⁡(1+t)<t\ln(1+t) < t pentru t>0t>0 sau studiu semn. ff strict descrescătoare.
42 puncte
ff continuă, strict descrescătoare, lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0. Atunci f((0,∞))=(−∞,0)f((0,\infty)) = (-\infty, 0). Ecuația f(x)=mf(x)=m are: o soluție pentru m<0m<0, nicio soluție pentru m≥0m \geq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.