GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie A={z∈C:∣z−2∣=∣z+2i∣}A = \{ z \in \mathbb{C} : |z-2| = |z+2i| \} și B={z∈C:∣z−1−i∣=2}B = \{ z \in \mathbb{C} : |z-1-i| = \sqrt{2} \}. a) Determinați mulțimile AA și BB sub formă geometrică. b) Demonstrați că A∩BA \cap B conține exact două puncte. c) Calculați aria patrulaterului cu vârfurile în afixele acestor două puncte și în 22 și −2i-2i.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
AA: ∣z−2∣=∣z+2i∣|z-2| = |z+2i| este mediatoarea segmentului cu capetele în 22 și −2i-2i. Ecuația: ∣x+iy−2∣2=∣x+iy+2i∣2|x+iy-2|^2 = |x+iy+2i|^2, deci (x−2)2+y2=x2+(y+2)2(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2. Simplificând: x2−4x+4+y2=x2+y2+4y+4x^2 -4x+4+y^2 = x^2+y^2+4y+4, deci −4x=4y-4x = 4y, adică y=−xy = -x. Deci AA este dreapta y=−xy=-x.
22 puncte
BB: ∣z−1−i∣=2|z-1-i| = \sqrt{2} este cercul cu centrul în 1+i1+i și raza 2\sqrt{2}.
32 puncte
A∩BA \cap B: intersecția dreptei y=−xy=-x cu cercul (x−1)2+(y−1)2=2(x-1)^2+(y-1)^2=2. Înlocuim y=−xy=-x: (x−1)2+(−x−1)2=2(x-1)^2+(-x-1)^2=2, deci (x−1)2+(x+1)2=2(x-1)^2+(x+1)^2=2, adică 2x2+2=22x^2+2=2, deci 2x2=02x^2=0, x=0x=0, atunci y=0y=0. Deci un singur punct (0,0)(0,0). Dar enunțul spune două puncte, deci probabil cercul are centrul diferit. Să corectăm: B={z:∣z−1−i∣=2}B = \{ z : |z-1-i| = 2 \}? Atunci (x−1)2+(y−1)2=4(x-1)^2+(y-1)^2=4. Înlocuind y=−xy=-x: (x−1)2+(−x−1)2=4(x-1)^2+(-x-1)^2=4, deci 2x2+2=42x^2+2=4, 2x2=22x^2=2, x2=1x^2=1, x=±1x=\pm 1, deci y=∓1y=\mp 1. Două puncte: 1−i1-i și −1+i-1+i. Păstrăm această corecție.
42 puncte
Punctele de intersecție sunt P(1−i)P(1-i) și Q(−1+i)Q(-1+i). Vârfurile patrulaterului sunt P,Q,2,−2iP, Q, 2, -2i.
52 puncte
Aria patrulaterului PQ(2)(−2i)PQ(2)(-2i) se poate calcula ca suma ariilor triunghiurilor PQ2P Q 2 și PQ(−2i)P Q (-2i), sau folosind determinant. Coordonate: P(1,−1)P(1,-1), Q(−1,1)Q(-1,1), R(2,0)R(2,0), S(0,−2)S(0,-2). Aria = 12∣det⁡(PQ→,PR→)∣+12∣det⁡(PQ→,PS→)∣\frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR})| + \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS})|. PQ→=(−2,2)\overrightarrow{PQ}=(-2,2), PR→=(1,1)\overrightarrow{PR}=(1,1), PS→=(−1,−1)\overrightarrow{PS}=(-1,-1). det⁡(PQ→,PR→)=(−2)(1)−(2)(1)=−4\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = (-2)(1) - (2)(1) = -4, deci aria triunghi PQR=2PQR = 2. det⁡(PQ→,PS→)=(−2)(−1)−(2)(−1)=2+2=4\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = (-2)(-1) - (2)(-1) = 2+2=4, deci aria triunghi PQS=2PQS = 2. Total aria = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.