GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bxf(x) = \frac{ax^2 + b}{x}, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. a) Determinați aa și bb astfel încât graficul lui ff să aibă asimptotă oblică y=2x+1y = 2x + 1 și să treacă prin punctul (1,3)(1, 3). b) Pentru valorile găsite, studiați monotonia și extremele lui ff. c) Demonstrați că pentru orice x1,x2>0x_1, x_2 > 0, f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
f(x)=ax+bxf(x) = ax + \frac{b}{x}. Asimptota oblică: lim⁡x→±∞[f(x)−(mx+n)]=0\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx+n)] = 0. Aici m=2m=2, deci a=2a=2. Atunci f(x)=2x+bxf(x)=2x + \frac{b}{x}. Trece prin (1,3)(1,3): 3=2+b⇒b=13 = 2 + b \Rightarrow b=1. Deci f(x)=2x+1xf(x)=2x + \frac{1}{x}
22 puncte
f′(x)=2−1x2f'(x)=2 - \frac{1}{x^2}. Puncte critice: f′(x)=0⇒x2=12⇒x=±12f'(x)=0 \Rightarrow x^2=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}. f′′(x)=2x3f''(x)=\frac{2}{x^3}. Pentru x=12>0x=\frac{1}{\sqrt{2}} > 0, f′′>0f''>0 (minim local), pentru x=−12x=-\frac{1}{\sqrt{2}}, f′′<0f''<0 (maxim local)
32 puncte
Monotonie: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru ∣x∣>12|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru ∣x∣<12|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}, x≠0x \neq 0. Deci ff descrescătoare pe (−12,0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0) și (0,12)(0, \frac{1}{\sqrt{2}}), crescătoare pe (−∞,−12)(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) și (12,∞)(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty)
42 puncte
Inegalitatea cerută este f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} pentru x1,x2>0x_1, x_2 > 0, adică 2⋅x1+x22+1x1+x22≤2x1+1x1+2x2+1x222\cdot\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{1}{\frac{x_1+x_2}{2}} \leq \frac{2x_1+\frac{1}{x_1} + 2x_2+\frac{1}{x_2}}{2}
52 puncte
Simplificare: x1+x2+2x1+x2≤x1+x2+12(1x1+1x2)x_1+x_2 + \frac{2}{x_1+x_2} \leq x_1+x_2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right). Scădem x1+x2x_1+x_2: 2x1+x2≤12(1x1+1x2)⇔4x1+x2≤1x1+1x2⇔4x1+x2≤x1+x2x1x2⇔4x1x2≤(x1+x2)2\frac{2}{x_1+x_2} \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right) \Leftrightarrow \frac{4}{x_1+x_2} \leq \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \Leftrightarrow \frac{4}{x_1+x_2} \leq \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2} \Leftrightarrow 4x_1 x_2 \leq (x_1+x_2)^2, adevărat prin inegalitatea mediilor sau (x1−x2)2≥0(x_1-x_2)^2 \geq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.