GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă, pozitivă. Demonstrați că (∫01f(x)dx)2≤∫01f2(x)dx\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x) dx. Când are loc egalitatea? Generalizați pentru (∫01f(x)dx)p≤∫01fp(x)dx\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^p \leq \int_0^1 f^p(x) dx cu p≥1p \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se aplică inegalitatea Cauchy-Schwarz: (∫01f(x)⋅1dx)2≤(∫01f2(x)dx)(∫0112dx)=∫01f2(x)dx\left( \int_0^1 f(x) \cdot 1 dx \right)^2 \leq \left( \int_0^1 f^2(x) dx \right) \left( \int_0^1 1^2 dx \right) = \int_0^1 f^2(x) dx.
22 puncte
Egalitatea are loc când f(x)f(x) este proporțională cu 11, adică f(x)=constantf(x) = constant aproape peste tot. În cazul funcțiilor continue, f(x)=constantf(x) = constant pe [0,1][0,1].
32 puncte
Pentru generalizare, se folosește inegalitatea lui Hölder: pentru p≥1p \geq 1, ∫01f(x)dx=∫01f(x)⋅1dx≤(∫01fp(x)dx)1/p(∫011qdx)1/q\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f(x) \cdot 1 dx \leq \left( \int_0^1 f^p(x) dx \right)^{1/p} \left( \int_0^1 1^q dx \right)^{1/q}, unde 1p+1q=1\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.
42 puncte
Cum q=pp−1q = \frac{p}{p-1} (pentru p>1p>1), ∫011qdx=1\int_0^1 1^q dx = 1, deci ∫01f(x)dx≤(∫01fp(x)dx)1/p\int_0^1 f(x) dx \leq \left( \int_0^1 f^p(x) dx \right)^{1/p}. Ridicând la puterea pp, se obține (∫01f(x)dx)p≤∫01fp(x)dx\left( \int_0^1 f(x) dx \right)^p \leq \int_0^1 f^p(x) dx.
51 punct
Pentru p=1p=1, inegalitatea devine egalitate trivială.
61 punct
Verificare pentru p=2p=2: revine la cazul inițial. Exemplu: f(x)=xf(x)=x, (∫01xdx)2=(1/2)2=1/4\left( \int_0^1 x dx \right)^2 = (1/2)^2 = 1/4, iar ∫01x2dx=1/3\int_0^1 x^2 dx = 1/3, și 1/4≤1/31/4 \leq 1/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.