GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că perimetrul este P=30P = 30.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din sin⁡A=3/5\sin A = 3/5, cu AA unghi în triunghi, cos⁡A=±4/5\cos A = \pm 4/5. Alegem cos⁡A=4/5\cos A = 4/5 deoarece AA este probabil ascuțit (altfel ar implica alte condiții). Din cos⁡B=5/13\cos B = 5/13, sin⁡B=12/13\sin B = 12/13.
22 puncte
cos⁡C=cos⁡(π−(A+B))=−cos⁡(A+B)=−(cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B)=−((4/5)(5/13)−(3/5)(12/13))=−(20/65−36/65)=16/65\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B) = - (\cos A \cos B - \sin A \sin B) = - ((4/5)(5/13) - (3/5)(12/13)) = - (20/65 - 36/65) = 16/65.
32 puncte
Legea sinusurilor: a/sin⁡A=b/sin⁡B=c/sin⁡C=2Ra/\sin A = b/\sin B = c/\sin C = 2R. Dar sin⁡C=1−cos⁡2C=1−(16/65)2=1−256/4225=3969/4225=63/65\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - (16/65)^2} = \sqrt{1 - 256/4225} = \sqrt{3969/4225} = 63/65 (pozitiv deoarece CC ascuțit dacă cos⁡C>0\cos C > 0).
42 puncte
Fie k=a/sin⁡A=a/(3/5)=5a/3k = a/\sin A = a/(3/5) = 5a/3. Atunci b=ksin⁡B=(5a/3)(12/13)=20a/13b = k \sin B = (5a/3)(12/13) = 20a/13, c=ksin⁡C=(5a/3)(63/65)=21a/13c = k \sin C = (5a/3)(63/65) = 21a/13. Perimetrul: a+20a/13+21a/13=a+41a/13=(13a+41a)/13=54a/13=30a + 20a/13 + 21a/13 = a + 41a/13 = (13a + 41a)/13 = 54a/13 = 30, deci a=30⋅13/54=390/54=65/9a = 30 \cdot 13 / 54 = 390/54 = 65/9.
52 puncte
Aria: S=12absin⁡C=12⋅a⋅(20a/13)⋅(63/65)=12⋅20a213⋅6365=10⋅6313⋅65a2=630845a2=126169a2S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (20a/13) \cdot (63/65) = \frac{1}{2} \cdot \frac{20a^2}{13} \cdot \frac{63}{65} = \frac{10 \cdot 63}{13 \cdot 65} a^2 = \frac{630}{845} a^2 = \frac{126}{169} a^2. Cu a2=(65/9)2=4225/81a^2 = (65/9)^2 = 4225/81, S=(126/169)⋅(4225/81)=(126⋅4225)/(169⋅81)=(126⋅25)/81=3150/81=350/9S = (126/169) \cdot (4225/81) = (126 \cdot 4225) / (169 \cdot 81) = (126 \cdot 25) / 81 = 3150/81 = 350/9, cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.