GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Considerăm suma Riemann Sn=1n∑k=1n1+(kn)2S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}. a) Exprimați SnS_n ca o integrală definită și calculați lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n. b) Demonstrați că Sn≤∫011+x2dx+12nS_n \leq \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx + \frac{1}{2n}. c) Aplicați la calculul aproximativ al lui ∫011+x2dx\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx pentru n=10n=10.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Sn=1n∑k=1n1+(kn)2S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} este o sumă Riemann pentru funcția f(x)=1+x2f(x) = \sqrt{1+x^2} pe intervalul [0,1][0,1], cu puncte dreapta. Deci lim⁡n→∞Sn=∫011+x2dx\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx
22 puncte
Calculul integralei: ∫011+x2dx=12(x1+x2+ln⁡(x+1+x2))∣01=12(2+ln⁡(1+2))\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1+x^2} + \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \right) \big|_0^1 = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) \right)
32 puncte
Pentru inegalitatea, se folosește faptul că ff este crescătoare, deci suma Riemann dreapta supraestimează integrala: Sn≥∫011+x2dxS_n \geq \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx. Pentru a demonstra Sn≤∫011+x2dx+12nS_n \leq \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx + \frac{1}{2n}, se observă că f′(x)=x1+x2≤1f'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leq 1, deci ff este lipschitziană cu constanta 1. Atunci eroarea sumei Riemann este mărginită de 12n\frac{1}{2n}.
42 puncte
Pentru n=10n=10, S10=110∑k=1101+(k/10)2S_{10} = \frac{1}{10} \sum_{k=1}^{10} \sqrt{1 + (k/10)^2}. Calcul aproximativ: ∑k=1101+0.01k2≈∑k=1101+0.01k2\sum_{k=1}^{10} \sqrt{1+0.01k^2} \approx \sum_{k=1}^{10} \sqrt{1+0.01k^2}, cu valori: k=1: √1.01≈1.005, k=2: √1.04≈1.0198, k=3: √1.09≈1.044, k=4: √1.16≈1.077, k=5: √1.25≈1.118, k=6: √1.36≈1.166, k=7: √1.49≈1.221, k=8: √1.64≈1.281, k=9: √1.81≈1.345, k=10: √2≈1.414. Suma ≈ 1.005+1.0198+1.044+1.077+1.118+1.166+1.221+1.281+1.345+1.414 = 11.6918, deci S10≈1.16918S_{10} ≈ 1.16918, iar integrala exactă ≈ 1.1478 (calculat la pasul 2).
52 puncte
Concluzii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.