GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(0100011−33)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{pmatrix}. a) Demonstrați că A3=3A2−3A+I3A^3 = 3A^2 - 3A + I_3. b) Deduceți o formulă pentru AnA^n (n≥0n \geq 0) și demonstrați-o prin inducție. c) Calculați tr(A2025)+det⁡(A2025)\text{tr}(A^{2025}) + \det(A^{2025}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează A2=(0011−333−64)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \\ 3 & -6 & 4 \end{pmatrix} și A3=(1−333−646−95)A^3 = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -6 & 4 \\ 6 & -9 & 5 \end{pmatrix}, verificând că A3=3A2−3A+I3A^3 = 3A^2 - 3A + I_3.
23 puncte
Se presupune An=anA2+bnA+cnIA^n = a_n A^2 + b_n A + c_n I. Din relația de recurență, se obține an+1=an+bna_{n+1} = a_n + b_n, bn+1=an+cnb_{n+1} = a_n + c_n, cn+1=bnc_{n+1} = b_n, cu condițiile inițiale pentru n=0,1,2n=0,1,2. Se demonstrează prin inducție.
33 puncte
Se rezolvă sistemul de recurență, obținând an=n(n−1)2a_n = \frac{n(n-1)}{2}, bn=nb_n = n, cn=1c_n = 1 pentru n≥1n \geq 1.
42 puncte
tr(A2025)=3⋅c2025+coeficienții din urma˘,det⁡(A2025)=(det⁡A)2025=12025=1\text{tr}(A^{2025}) = 3 \cdot c_{2025} + \text{coeficienții din urmă}, \det(A^{2025}) = (\det A)^{2025} = 1^{2025} = 1, deci suma este calculată numeric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.