GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricele A=(123045006)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} și B=(2013)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A)\det(A) și tr(ATA)\text{tr}(A^T A). b) Rezolvați ecuația matriceală XA=BXA = B, unde XX este o matrice 2×32 \times 3. c) Pentru matricea XX găsită, calculați det⁡(XXT)\det(X X^T).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
det⁡(A)=1⋅4⋅6=24\det(A) = 1 \cdot 4 \cdot 6 = 24 (matrice triunghiulară). ATA=(100240356)(123045006)=(1232202632670)A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 20 & 26 \\ 3 & 26 & 70 \end{pmatrix}, tr(ATA)=1+20+70=91\text{tr}(A^T A) = 1+20+70=91.
22 puncte
Ecuația XA=BXA = B, cu X=(x1x2x3y1y2y3)X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix}. Calculăm XA=(x1x2x3y1y2y3)(123045006)=(x12x1+4x23x1+5x2+6x3y12y1+4y23y1+5y2+6y3)XA = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & 2x_1+4x_2 & 3x_1+5x_2+6x_3 \\ y_1 & 2y_1+4y_2 & 3y_1+5y_2+6y_3 \end{pmatrix}.
32 puncte
Egalăm cu B=(2013)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}: x1=2x_1=2, 2x1+4x2=02x_1+4x_2=0, 3x1+5x2+6x33x_1+5x_2+6x_3 (necesar doar primele două coloane, a treia este liberă). Din 2⋅2+4x2=02\cdot2+4x_2=0, 4+4x2=04+4x_2=0, deci x2=−1x_2=-1. y1=1y_1=1, 2⋅1+4y2=32\cdot1+4y_2=3, 2+4y2=32+4y_2=3, deci y2=0.25y_2=0.25.
42 puncte
Soluția: X=(2−1x310.25y3)X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & x_3 \\ 1 & 0.25 & y_3 \end{pmatrix}, cu x3,y3∈Rx_3, y_3 \in \mathbb{R} arbitrare. Pentru simplitate, alegem x3=0x_3=0, y3=0y_3=0: X=(2−1010.250)X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}.
52 puncte
XXT=(2−1010.250)(21−10.2500)=(4+1+02−0.25+02−0.25+01+0.0625+0)=(51.751.751.0625)X X^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0.25 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1+0 & 2-0.25+0 \\ 2-0.25+0 & 1+0.0625+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1.75 \\ 1.75 & 1.0625 \end{pmatrix}. det⁡(XXT)=5⋅1.0625−1.75⋅1.75=5.3125−3.0625=2.25\det(X X^T) = 5 \cdot 1.0625 - 1.75 \cdot 1.75 = 5.3125 - 3.0625 = 2.25.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.