GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie an=∫0π/2sin⁡nx1+sin⁡nxdxa_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sqrt{1+\sin^n x}} dx, n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul (an)(a_n) este descrescător și mărginit. b) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n. c) Demonstrați că an≥π4⋅11+2−n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} pentru nn par.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
sin⁡n+1x≤sin⁡nx\sin^{n+1} x \leq \sin^n x pe [0,π/2][0,\pi/2], deci funcția integrand este descrescătoare în nn, de unde an+1≤ana_{n+1} \leq a_n
22 puncte
Mărginire: 0≤an≤∫0π/21dx=π20 \leq a_n \leq \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}
32 puncte
Pentru limită: sin⁡nx→0\sin^n x \to 0 aproape peste tot, deci sin⁡nx1+sin⁡nx→0\frac{\sin^n x}{\sqrt{1+\sin^n x}} \to 0, iar prin teorema convergenței dominate lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0
42 puncte
Pentru nn par, sin⁡nx≥sin⁡n(π/4)=2−n/2\sin^n x \geq \sin^n(\pi/4) = 2^{-n/2} pe [π/4,π/2][\pi/4, \pi/2], deci an≥∫π/4π/22−n/21+2−n/2dx=π4⋅2−n/21+2−n/2a_n \geq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} dx = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}
52 puncte
Corectare: an≥∫π/4π/211+sin⁡nxdx≥∫π/4π/211+2−n/2dx=π4⋅11+2−n/2a_n \geq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1+\sin^n x}} dx \geq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} dx = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.