GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie I=∫01ln⁡(1+x)1+x2dxI = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx. a) Calculați II folosind substituția x=tan⁡tx = \tan t. b) Demonstrați că ∫01ln⁡(1+x2)1+x2dx=π2ln⁡2−I\int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} \ln 2 - I. c) Calculați ∫01ln⁡(1+x)1+xdx\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} dx și deduceți o relație între integrale.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), x=tan⁡tx = \tan t, dx=sec⁡2tdtdx = \sec^2 t dt, 1+x2=sec⁡2t1+x^2 = \sec^2 t. Atunci I=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)dtI = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt.
22 puncte
Se folosește identitatea 1+tan⁡t=sin⁡t+cos⁡tcos⁡t=2sin⁡(t+π/4)cos⁡t1+\tan t = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} = \frac{\sqrt{2} \sin(t+\pi/4)}{\cos t}. Dar mai simplu, se face substituția t=π/4−ut = \pi/4 - u: I=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡(π/4−u))du=∫0π/4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u)du=∫0π/4ln⁡(21+tan⁡u)duI = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan(\pi/4 - u)) du = \int_0^{\pi/4} \ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) du = \int_0^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) du.
32 puncte
Dezvoltând: I=∫0π/4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u))du=π4ln⁡2−II = \int_0^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1+\tan u)) du = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I. Deci 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2.
42 puncte
Pentru b), ∫01ln⁡(1+x2)1+x2dx=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡2t)dt=∫0π/4ln⁡(sec⁡2t)dt=2∫0π/4ln⁡(sec⁡t)dt=2∫0π/4(−ln⁡(cos⁡t))dt\int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2} dx = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan^2 t) dt = \int_0^{\pi/4} \ln(\sec^2 t) dt = 2 \int_0^{\pi/4} \ln(\sec t) dt = 2 \int_0^{\pi/4} (-\ln(\cos t)) dt.
51 punct
Dar ∫0π/4ln⁡(cos⁡t)dt\int_0^{\pi/4} \ln(\cos t) dt se poate calcula din II și identități trigonometrice. Alternativ, se observă că ln⁡(1+x2)=ln⁡((1+x)2−2x)=2ln⁡(1+x)+ln⁡(1−2x(1+x)2)\ln(1+x^2) = \ln((1+x)^2 - 2x) = 2\ln(1+x) + \ln(1 - \frac{2x}{(1+x)^2}), dar mai direct: din a), ∫0π/4ln⁡(cos⁡t)dt=π4ln⁡2−I\int_0^{\pi/4} \ln(\cos t) dt = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I, deci integrala din b) este 2(π4ln⁡2−I)=π2ln⁡2−2I=π2ln⁡2−π4ln⁡2=π4ln⁡22(\frac{\pi}{4} \ln 2 - I) = \frac{\pi}{2} \ln 2 - 2I = \frac{\pi}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} \ln 2 = \frac{\pi}{4} \ln 2? Se corectează: I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2, deci π2ln⁡2−I=π2ln⁡2−π8ln⁡2=3π8ln⁡2\frac{\pi}{2} \ln 2 - I = \frac{\pi}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{8} \ln 2 = \frac{3\pi}{8} \ln 2.
61 punct
Pentru c), ∫01ln⁡(1+x)1+xdx=∫01ln⁡(1+x)1+xdx=12[ln⁡(1+x)]2∣01=12(ln⁡2)2\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} dx = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} dx = \frac{1}{2} [\ln(1+x)]^2 \big|_0^1 = \frac{1}{2} (\ln 2)^2. Relația: comparând cu a) și b), se pot obține alte integrale logaritmice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.