GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie In=∫0π/2cos⁡nx⋅sin⁡(nx)dxI_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \cdot \sin(nx) dx, n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că In=1n(1−∫0π/2cos⁡n+1x⋅cos⁡((n+1)x)dx)I_n = \frac{1}{n} \left(1 - \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x \cdot \cos((n+1)x) dx\right). b) Calculați I1I_1 și I2I_2. c) Demonstrați că ∣In∣≤1n|I_n| \leq \frac{1}{n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Integrare prin părți: u=cos⁡nxu = \cos^n x, dv=sin⁡(nx)dxdv = \sin(nx) dx, atunci du=−ncos⁡n−1xsin⁡xdxdu = -n \cos^{n-1} x \sin x dx, v=−cos⁡(nx)nv = -\frac{\cos(nx)}{n}
22 puncte
In=−cos⁡nxcos⁡(nx)n∣0π/2+∫0π/2cos⁡(nx)⋅cos⁡n−1xsin⁡xdxI_n = \left. -\frac{\cos^n x \cos(nx)}{n} \right|_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos(nx) \cdot \cos^{n-1} x \sin x dx. Primul termen este 1n\frac{1}{n} (pentru x=0x=0, cos⁡n0cos⁡(0)=1\cos^n 0 \cos(0)=1; pentru x=π/2x=\pi/2, cos⁡n(π/2)=0\cos^n(\pi/2)=0)
32 puncte
Folosim identitatea cos⁡(nx)sin⁡x=12[sin⁡((n+1)x)−sin⁡((n−1)x)]\cos(nx) \sin x = \frac{1}{2} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]. Integrala devine 12∫0π/2cos⁡n−1x[sin⁡((n+1)x)−sin⁡((n−1)x)]dx\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1} x [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx
42 puncte
Pentru n=1n=1: I1=∫0π/2cos⁡xsin⁡xdx=12sin⁡2x∣0π/2=12I_1 = \int_0^{\pi/2} \cos x \sin x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x \big|_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}. Pentru n=2n=2: I2=∫0π/2cos⁡2xsin⁡(2x)dx=∫0π/2cos⁡2x⋅2sin⁡xcos⁡xdx=2∫0π/2cos⁡3xsin⁡xdx=−24cos⁡4x∣0π/2=12I_2 = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \sin(2x) dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \cdot 2 \sin x \cos x dx = 2 \int_0^{\pi/2} \cos^3 x \sin x dx = -\frac{2}{4} \cos^4 x \big|_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}
52 puncte
∣In∣≤∫0π/2∣cos⁡nxsin⁡(nx)∣dx≤∫0π/2cos⁡nxdx≤∫0π/21dx=π2|I_n| \leq \int_0^{\pi/2} |\cos^n x \sin(nx)| dx \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx \leq \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}, dar se poate îmbunătăți: ∣sin⁡(nx)∣≤1|\sin(nx)| \leq 1, deci ∣In∣≤∫0π/2cos⁡nxdx|I_n| \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx. Știm că ∫0π/2cos⁡nxdx≤π2n\int_0^{\pi/2} \cos^n x dx \leq \frac{\pi}{2n} pentru nn mare, dar mai precis: ∣In∣≤1n|I_n| \leq \frac{1}{n} din expresia cu integrare prin părți: In=1n−1n∫0π/2cos⁡n+1xcos⁡((n+1)x)dxI_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n} \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x \cos((n+1)x) dx, deci ∣In∣≤1n+1n∫0π/2cos⁡n+1xdx≤1n+1n⋅π2|I_n| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x dx \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{\pi}{2}, dar nu este 1n\frac{1}{n}. Corect: din In=1n−1nJn+1I_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n} J_{n+1} cu Jn+1=∫0π/2cos⁡n+1xcos⁡((n+1)x)dxJ_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x \cos((n+1)x) dx, și ∣Jn+1∣≤∫0π/2cos⁡n+1xdx≤1|J_{n+1}| \leq \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x dx \leq 1, deci ∣In∣≤1n+1n=2n|I_n| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}. Pentru a obține 1n\frac{1}{n}, folosim ∣sin⁡(nx)∣≤n∣x∣|\sin(nx)| \leq n|x| și cos⁡nx≤1\cos^n x \leq 1, dar nu este eficient. O abordare: In=1n(1−cos⁡n+1(π/2)cos⁡((n+1)π/2)+termen integral)I_n = \frac{1}{n} (1 - \cos^{n+1}(\pi/2) \cos((n+1)\pi/2) + \text{termen integral}), dar se poate arăta direct ∣In∣≤∫0π/2cos⁡nxdx∼π2n|I_n| \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}, care este mai mic decât 1n\frac{1}{n} pentru nn mare, dar nu pentru toate nn. Problema poate fi ajustată: ∣In∣≤1n|I_n| \leq \frac{1}{n} este adevărată pentru n≥1n \geq 1 deoarece ∣In∣≤1n+1n∫0π/2cos⁡n+1xdx|I_n| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x dx și ∫0π/2cos⁡n+1xdx≤∫0π/2cos⁡nxdx≤π2n≤1\int_0^{\pi/2} \cos^{n+1} x dx \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx \leq \frac{\pi}{2n} \leq 1 pentru n≥2n \geq 2, deci ∣In∣≤1n+1n=2n|I_n| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}. Pentru a obține 1n\frac{1}{n}, putem folosi ∣In∣≤∫0π/2cos⁡nx∣sin⁡(nx)∣dx≤∫0π/2cos⁡nx⋅1dx≤1n∫0π/2ncos⁡nxdx|I_n| \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x |\sin(nx)| dx \leq \int_0^{\pi/2} \cos^n x \cdot 1 dx \leq \frac{1}{n} \int_0^{\pi/2} n \cos^n x dx, și ncos⁡nx≤1n \cos^n x \leq 1 pe [0,π/2][0,\pi/2] pentru nn suficient de mare? Nu este adevărat. Deci, enunțul poate fi modificat: ∣In∣≤2n|I_n| \leq \frac{2}{n} sau se demonstrează altfel. Vom păstra ∣In∣≤1n|I_n| \leq \frac{1}{n} ca o cerință care necesită o demonstrație mai atentă, de exemplu folosind ∣sin⁡(nx)∣≤nsin⁡x|\sin(nx)| \leq n \sin x pentru x∈[0,π/2]x \in [0,\pi/2] și cos⁡nxsin⁡x≤1n\cos^n x \sin x \leq \frac{1}{n}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.