GreuMatriciClasa 9

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatriciInducție matematică
Fie A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați AnA^n pentru n≥1n \geq 1. b) Demonstrați prin inducție că An=(12n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Calculați det⁡(A2025−A2024)\det(A^{2025} - A^{2024}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
a) Prin calcul direct: A2=(1401)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A3=(1601)A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci se observă An=(12n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
23 puncte
b) Inducție: pentru n=1n=1, adevărat. Presupunem Ak=(12k01)A^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Atunci Ak+1=A⋅Ak=(1201)(12k01)=(12k+201)=(12(k+1)01)A^{k+1} = A \cdot A^k = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2k+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
33 puncte
c) A2025−A2024=(1405001)−(1404801)=(0200)A^{2025} - A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 4050 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4048 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
42 puncte
det⁡(0200)=0⋅0−2⋅0=0\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.