GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} continuă, cu f(0)=0f(0)=0 și f(1)=1f(1)=1. Considerăm șirul an=∫01xnf(x)dxa_n = \int_0^1 x^n f(x) dx. a) Demonstrați că lim⁡n→∞nan=0\lim_{n \to \infty} n a_n = 0. b) Dacă ff este derivabilă în 00 cu f′(0)=2f'(0)=2, calculați lim⁡n→∞n2an\lim_{n \to \infty} n^2 a_n. c) Generalizați pentru f(k)(0)=k!f^{(k)}(0)=k! și lim⁡n→∞nk+1an\lim_{n \to \infty} n^{k+1} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), se aplică teorema de medie: există cn∈[0,1]c_n \in [0,1] astfel încât an=f(cn)∫01xndx=f(cn)n+1a_n = f(c_n) \int_0^1 x^n dx = \frac{f(c_n)}{n+1}. Deci nan=nn+1f(cn)n a_n = \frac{n}{n+1} f(c_n). Cum ff este continuă și cn→0c_n \to 0 (căci ∫01xndx\int_0^1 x^n dx tinde spre 0), f(cn)→f(0)=0f(c_n) \to f(0)=0, deci limita este 0.
22 puncte
Pentru b), se scrie f(x)=2x+xg(x)f(x) = 2x + x g(x) cu lim⁡x→0g(x)=0\lim_{x \to 0} g(x)=0. Atunci an=∫01xn(2x+xg(x))dx=2∫01xn+1dx+∫01xn+1g(x)dx=2n+2+∫01xn+1g(x)dxa_n = \int_0^1 x^n (2x + x g(x)) dx = 2 \int_0^1 x^{n+1} dx + \int_0^1 x^{n+1} g(x) dx = \frac{2}{n+2} + \int_0^1 x^{n+1} g(x) dx.
32 puncte
Pentru al doilea termen, ∣∫01xn+1g(x)dx∣≤sup⁡x∈[0,1]∣g(x)∣⋅1n+2|\int_0^1 x^{n+1} g(x) dx| \leq \sup_{x \in [0,1]} |g(x)| \cdot \frac{1}{n+2}, care tinde la 0 mai rapid decât 1/n21/n^2. Deci n2an=n2(2n+2+o(1/n))→2n^2 a_n = n^2 \left( \frac{2}{n+2} + o(1/n) \right) \to 2.
42 puncte
Pentru c), prin inducție, dacă f(x)=∑i=0kf(i)(0)i!xi+xk+1h(x)f(x) = \sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(0)}{i!} x^i + x^{k+1} h(x) cu h(x)→0h(x) \to 0, atunci an=∑i=0kf(i)(0)i!1n+i+1+∫01xn+k+1h(x)dxa_n = \sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(0)}{i!} \frac{1}{n+i+1} + \int_0^1 x^{n+k+1} h(x) dx.
51 punct
Termenul dominant este f(k)(0)k!1n+k+1=1n+k+1\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \frac{1}{n+k+1} = \frac{1}{n+k+1} (căci f(k)(0)=k!f^{(k)}(0)=k!). Deci nk+1an→1n^{k+1} a_n \to 1.
61 punct
Verificare: pentru k=0k=0, f(0)(0)=0!=1f^{(0)}(0)=0! =1, dar f(0)=0f(0)=0, deci se ajustează: f(x)=x+x2h(x)f(x) = x + x^2 h(x) etc., iar limita este 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.