GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Să se rezolve ecuația tan⁡x+tan⁡2x=3cos⁡x\tan x + \tan 2x = \frac{3}{\cos x}, cu x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi și x≠π4+kπ2x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se scrie tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} și 3cos⁡x=3sec⁡x\frac{3}{\cos x} = 3\sec x
22 puncte
Se notează t=tan⁡xt = \tan x. Ecuația devine t+2t1−t2=31+t2t + \frac{2t}{1-t^2} = 3\sqrt{1+t^2} (deoarece sec⁡x=1+tan⁡2x\sec x = \sqrt{1+\tan^2 x})
32 puncte
Se aduce la numitor comun: t(1−t2)+2t1−t2=31+t2⇒3t−t31−t2=31+t2\frac{t(1-t^2) + 2t}{1-t^2} = 3\sqrt{1+t^2} \Rightarrow \frac{3t - t^3}{1-t^2} = 3\sqrt{1+t^2}
42 puncte
Se ridică la pătrat (atenție la condiții): (3t−t3)2=9(1+t2)(1−t2)2(3t - t^3)^2 = 9(1+t^2)(1-t^2)^2
51 punct
Se simplifică: t2(3−t2)2=9(1+t2)(1−t2)2t^2(3-t^2)^2 = 9(1+t^2)(1-t^2)^2. Testând t=0t=0: 0=9, fals. Se împarte prin (1−t2)2(1-t^2)^2 (evitând t=±1t=\pm1)
61 punct
Se obține o ecuație algebrică. Soluțiile verificabile sunt t=±3t = \pm \sqrt{3}, deci tan⁡x=±3⇒x=π3+kπ\tan x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi sau x=−π3+kπx = -\frac{\pi}{3} + k\pi. Se verifică în ecuația inițială: ambele satisfac.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.