GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} continuă. Considerăm șirul an=∫01xnf(x)dxa_n = \int_0^1 x^n f(x) dx. a) Demonstrați că dacă f(1)≠0f(1) \neq 0, atunci lim⁡n→∞nan=f(1)\lim_{n \to \infty} n a_n = f(1). b) Aplicați la f(x)=ex2f(x) = e^{x^2} și calculați lim⁡n→∞n∫01xnex2dx\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^n e^{x^2} dx. c) Demonstrați că ∣an∣≤Mn+1|a_n| \leq \frac{M}{n+1}, unde M=max⁡x∈[0,1]∣f(x)∣M = \max_{x \in [0,1]} |f(x)|.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se scrie an=∫01xnf(1)dx+∫01xn(f(x)−f(1))dx=f(1)n+1+∫01xn(f(x)−f(1))dxa_n = \int_0^1 x^n f(1) dx + \int_0^1 x^n (f(x)-f(1)) dx = \frac{f(1)}{n+1} + \int_0^1 x^n (f(x)-f(1)) dx
22 puncte
Pentru al doilea termen, se folosește continuitatea: pentru orice ϵ>0\epsilon > 0, există δ>0\delta > 0 astfel încât ∣f(x)−f(1)∣<ϵ|f(x)-f(1)| < \epsilon pentru x∈[1−δ,1]x \in [1-\delta, 1]. Se împarte integrala: ∫01−δxn(f(x)−f(1))dx+∫1−δ1xn(f(x)−f(1))dx\int_0^{1-\delta} x^n (f(x)-f(1)) dx + \int_{1-\delta}^1 x^n (f(x)-f(1)) dx
32 puncte
Primul termen: ∣∫01−δxn(f(x)−f(1))dx∣≤2M(1−δ)n+1/(n+1)→0|\int_0^{1-\delta} x^n (f(x)-f(1)) dx| \leq 2M (1-\delta)^{n+1}/(n+1) \to 0. Al doilea termen: ∣∫1−δ1xn(f(x)−f(1))dx∣≤ϵ∫1−δ1xndx≤ϵ/(n+1)|\int_{1-\delta}^1 x^n (f(x)-f(1)) dx| \leq \epsilon \int_{1-\delta}^1 x^n dx \leq \epsilon/(n+1). Deci n∫01xn(f(x)−f(1))dx→0n \int_0^1 x^n (f(x)-f(1)) dx \to 0
42 puncte
Rezultă lim⁡nan=f(1)\lim n a_n = f(1). Pentru f(x)=ex2f(x)=e^{x^2}, f(1)=ef(1)=e, deci limita este ee
52 puncte
Inegalitatea: ∣an∣≤∫01xn∣f(x)∣dx≤M∫01xndx=Mn+1|a_n| \leq \int_0^1 x^n |f(x)| dx \leq M \int_0^1 x^n dx = \frac{M}{n+1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.