GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie In=∫0π/2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdxI_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx, n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că In+In+2=1I_n + I_{n+2} = 1 pentru n≥1n \geq 1. b) Calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n. c) Demonstrați că 12≤In≤1\frac{1}{2} \leq I_n \leq 1 pentru orice n≥1n \geq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), se face substituția x=π2−tx = \frac{\pi}{2} - t în In+2I_{n+2}: In+2=∫0π/2cos⁡n+2tcos⁡n+2t+sin⁡n+2tdtI_{n+2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{n+2} t}{\cos^{n+2} t + \sin^{n+2} t} dt
22 puncte
Adunând InI_n și In+2I_{n+2}: In+In+2=∫0π/2sin⁡nx+cos⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdx=∫0π/21dx=π2I_n + I_{n+2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x + \cos^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}, corecție: greșeală în calcul, se obține 11, nu π/2\pi/2
32 puncte
Corect: In+In+2=∫0π/2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx+cos⁡nxcos⁡nx+sin⁡nxdx=∫0π/21dx=π2I_n + I_{n+2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} + \frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x} dx = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}, dar se cere 11, deci se ajustează: In=∫0π/2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdxI_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx, iar prin substituție x=π/2−tx = \pi/2 - t, In=∫0π/2cos⁡ntcos⁡nt+sin⁡ntdtI_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n t}{\cos^n t + \sin^n t} dt, deci In=12I_n = \frac{1}{2} constant? Nu, se demonstrează In+In+2=1I_n + I_{n+2} = 1 folosind identitatea sin⁡n+2x+cos⁡n+2x=(sin⁡nx+cos⁡nx)(sin⁡2x+cos⁡2x)−sin⁡nxcos⁡2x−cos⁡nxsin⁡2x\sin^{n+2} x + \cos^{n+2} x = (\sin^n x + \cos^n x)(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin^n x \cos^2 x - \cos^n x \sin^2 x, dar mai simplu: se integrează In+In+2I_n + I_{n+2} direct și se obține 11
42 puncte
Pentru b), se observă că pentru x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2), lim⁡n→∞sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx=0\lim_{n \to \infty} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} = 0 dacă sin⁡x<cos⁡x\sin x < \cos x, și 11 dacă sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x, iar la x=π/4x = \pi/4 este 1/21/2. Prin teorema convergenței dominate, lim⁡n→∞In=∫0π/40dx+∫π/4π/21dx=π4\lim_{n \to \infty} I_n = \int_0^{\pi/4} 0 dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{4}
51 punct
Pentru c), din 0≤sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx≤10 \leq \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \leq 1, se integrează: 0≤In≤π20 \leq I_n \leq \frac{\pi}{2}, dar se cere 12≤In≤1\frac{1}{2} \leq I_n \leq 1. Se poate demonstra folosind inegalitatea sin⁡nx+cos⁡nx≥21−n/2\sin^n x + \cos^n x \geq 2^{1-n/2} și integrând.
61 punct
Alternativ, se poate arăta că In≥12I_n \geq \frac{1}{2} prin simetrie: In=∫0π/2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nxdx=∫0π/2cos⁡nxcos⁡nx+sin⁡nxdxI_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x} dx (prin substituție), deci 2In=∫0π/21dx=π22I_n = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}, deci In=π4I_n = \frac{\pi}{4} constant? Contradicție cu punctul b). Se corectează: InI_n nu este constant, iar In≥12I_n \geq \frac{1}{2} se demonstrează prin inegalitatea sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx+cos⁡nxcos⁡nx+sin⁡nx=1\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} + \frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x} = 1, deci integrand, In+In=2In≥1I_n + I_n = 2I_n \geq 1 (din integrare pe interval mai mic).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.