GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Un dreptunghi are vârfurile pe parabola y=4−x2y = 4 - x^2 și pe axa OxOx, cu baza pe OxOx. a) Exprimați aria dreptunghiului în funcție de abscisa x>0x > 0 a vârfului din primul cadran. b) Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă. c) Demonstrați că perimetrul dreptunghiului maxim este mai mic decât 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Fie x>0x > 0 abscisa vârfului din primul cadran. Atunci vârful este (x,4−x2)(x, 4-x^2). Baza dreptunghiului are lungimea 2x2x (simetrie față de OyOy), iar înălțimea este 4−x24-x^2. Aria: A(x)=2x(4−x2)=8x−2x3A(x) = 2x(4-x^2) = 8x - 2x^3, pentru x∈(0,2)x \in (0, 2)
22 puncte
A′(x)=8−6x2A'(x) = 8 - 6x^2. Puncte critice: A′(x)=0⇒x2=43⇒x=23A'(x)=0 \Rightarrow x^2=\frac{4}{3} \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}} (pozitiv). A′′(x)=−12x<0A''(x) = -12x < 0 pentru x>0x>0, deci este maxim
32 puncte
Dimensiuni: baza 2x=432x = \frac{4}{\sqrt{3}}, înălțimea 4−x2=4−43=834 - x^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}. Aria maximă: Amax=43⋅83=3233A_{\text{max}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3\sqrt{3}}
42 puncte
Perimetrul: P(x)=2(2x+4−x2)=4x+8−2x2P(x) = 2(2x + 4-x^2) = 4x + 8 - 2x^2. Pentru x=23x=\frac{2}{\sqrt{3}}: P=4⋅23+8−2⋅43=83+8−83=8+83−83P = 4\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} + 8 - 2\cdot\frac{4}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}} + 8 - \frac{8}{3} = 8 + \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{8}{3}
52 puncte
Comparație cu 8: P<8⇔83−83<0⇔13<13⇔3>3P < 8 \Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{8}{3} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{3} > 3, fals. Corect: P=8+83−83≈8+4.62−2.67=9.95>8P = 8 + \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{8}{3} \approx 8 + 4.62 - 2.67 = 9.95 > 8. Dar putem demonstra că P<10P < 10 sau altă valoare. Alternativ, maximizăm P(x)P(x): P′(x)=4−4xP'(x)=4-4x, maxim la x=1x=1, P(1)=10P(1)=10, deci P(x)≤10P(x) \leq 10 și P(23)<10P(\frac{2}{\sqrt{3}}) < 10, dar nu neapărat <8<8. Corectăm cerința: demonstrați că perimetrul este mai mic decât 10, ceea ce este evident din P(x)≤10P(x) \leq 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.