GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât z3=zˉz^3 = \bar{z} și z≠0z \neq 0. a) Demonstrați că ∣z∣=1|z| = 1. b) Determinați toate soluțiile ecuației. c) Calculați suma S=z+z2+z3+⋯+z2024S = z + z^2 + z^3 + \dots + z^{2024}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din z3=zˉz^3 = \bar{z}, luăm module: ∣z3∣=∣zˉ∣|z^3| = |\bar{z}|, deci ∣z∣3=∣z∣|z|^3 = |z|. Cum z≠0z \neq 0, ∣z∣≠0|z| \neq 0, deci ∣z∣2=1|z|^2 = 1, deci ∣z∣=1|z| = 1.
22 puncte
Atunci zˉ=1z\bar{z} = \frac{1}{z}. Ecuația devine z3=1zz^3 = \frac{1}{z}, deci z4=1z^4 = 1.
32 puncte
Soluțiile sunt rădăcinile de ordinul 4 ale unității: zk=cos⁡kπ2+isin⁡kπ2z_k = \cos \frac{k\pi}{2} + i \sin \frac{k\pi}{2}, k=0,1,2,3k = 0,1,2,3, adică 1,i,−1,−i1, i, -1, -i.
42 puncte
Verificăm în ecuația originală: pentru z=1z=1, 13=1=1ˉ1^3=1=\bar{1}; pentru z=iz=i, i3=−i=iˉi^3=-i=\bar{i}; pentru z=−1z=-1, (−1)3=−1=−1ˉ(-1)^3=-1=\bar{-1}; pentru z=−iz=-i, (−i)3=i=−iˉ(-i)^3=i=\bar{-i}. Toate sunt soluții.
52 puncte
Suma SS este o progresie geometrică cu rația zz. Dacă z=1z=1, atunci S=2024S=2024. Dacă z≠1z \neq 1, atunci S=z(1−z2024)1−zS = \frac{z(1-z^{2024})}{1-z}. Dar z4=1z^4=1, deci z2024=(z4)506=1z^{2024} = (z^4)^{506} = 1. Deci S=z(1−1)1−z=0S = \frac{z(1-1)}{1-z} = 0 pentru z≠1z \neq 1. Deci S=2024S=2024 pentru z=1z=1, și 00 pentru z=i,−1,−iz=i,-1,-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.