GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricele A=(102020−101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(2103)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A)\det(A) și tr(A2)\text{tr}(A^2). b) Determinați toate matricele XX de dimensiune 3×23 \times 2 care satisfac ecuația AX=XBAX = XB. c) Pentru o soluție nenulă XX găsită, calculați det⁡(XTX)\det(X^T X).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
det⁡(A)=1⋅∣2001∣−0+2⋅∣02−10∣=1(2−0)+2(0−(−2))=2+4=6\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1(2-0) + 2(0 - (-2)) = 2 + 4 = 6. A2=(−104040−20−1)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}, tr(A2)=−1+4−1=2\text{tr}(A^2) = -1+4-1=2.
22 puncte
Fie X=(x1y1x2y2x3y3)X = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix}. Ecuația AX=XBAX = XB devine: (102020−101)(x1y1x2y2x3y3)=(x1y1x2y2x3y3)(2103)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.
32 puncte
Calculând: AX=(x1+2x3y1+2y32x22y2−x1+x3−y1+y3)AX = \begin{pmatrix} x_1+2x_3 & y_1+2y_3 \\ 2x_2 & 2y_2 \\ -x_1+x_3 & -y_1+y_3 \end{pmatrix}, XB=(2x1x1+3y12x2x2+3y22x3x3+3y3)XB = \begin{pmatrix} 2x_1 & x_1+3y_1 \\ 2x_2 & x_2+3y_2 \\ 2x_3 & x_3+3y_3 \end{pmatrix}.
42 puncte
Sistemul: x1+2x3=2x1x_1+2x_3 = 2x_1, y1+2y3=x1+3y1y_1+2y_3 = x_1+3y_1, 2x2=2x22x_2 = 2x_2, 2y2=x2+3y22y_2 = x_2+3y_2, −x1+x3=2x3-x_1+x_3 = 2x_3, −y1+y3=x3+3y3-y_1+y_3 = x_3+3y_3. Simplificări: 2x3=x12x_3 = x_1, 2y3=x1+2y12y_3 = x_1+2y_1, 0=x2+y20 = x_2 + y_2, −x1=x3-x_1 = x_3, −y1=x3+2y3-y_1 = x_3+2y_3.
52 puncte
Din 2x3=x12x_3 = x_1 și −x1=x3-x_1 = x_3, obținem x1=x3=0x_1 = x_3 = 0. Atunci 2y3=2y12y_3 = 2y_1, deci y3=y1y_3 = y_1. Din −y1=2y3-y_1 = 2y_3, obținem y1=y3=0y_1 = y_3 = 0. Din 0=x2+y20 = x_2 + y_2, avem y2=−x2y_2 = -x_2. Soluția: X=(00x2−x200)X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ x_2 & -x_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, cu x2∈Rx_2 \in \mathbb{R}. Pentru x2=1x_2 = 1, X=(001−100)X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, XTX=(1−1−11)X^T X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, det⁡(XTX)=1⋅1−(−1)(−1)=0\det(X^T X) = 1 \cdot 1 - (-1)(-1) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.