GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie In=∫01xne−xdxI_n = \int_0^1 x^n e^{-x} dx, n≥0n \geq 0. a) Demonstrați relația de recurență In+1=(n+1)In−e−1I_{n+1} = (n+1)I_n - e^{-1}. b) Calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n. c) Estimați InI_n folosind inegalități și deduceți că In∼1nI_n \sim \frac{1}{n} când n→∞n \to \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), se integrează prin părți: In+1=∫01xn+1e−xdx=−xn+1e−x∣01+(n+1)∫01xne−xdx=−e−1+(n+1)InI_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^{-x} dx = -x^{n+1} e^{-x} \big|_0^1 + (n+1) \int_0^1 x^n e^{-x} dx = -e^{-1} + (n+1)I_n.
22 puncte
Pentru b), se observă că 0≤In≤∫01xndx=1n+10 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}, deci lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0 prin criteriul cleștelui.
32 puncte
Pentru c), din e−1≤e−x≤1e^{-1} \leq e^{-x} \leq 1 pe [0,1][0,1], avem e−1∫01xndx≤In≤∫01xndxe^{-1} \int_0^1 x^n dx \leq I_n \leq \int_0^1 x^n dx, adică e−1n+1≤In≤1n+1\frac{e^{-1}}{n+1} \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}.
42 puncte
Deci In=O(1/n)I_n = O(1/n). Pentru a arăta că In∼1nI_n \sim \frac{1}{n}, se poate folosi recurența: In=In+1+e−1n+1I_n = \frac{I_{n+1} + e^{-1}}{n+1}. Cum In+1→0I_{n+1} \to 0, In∼e−1n+1∼e−1nI_n \sim \frac{e^{-1}}{n+1} \sim \frac{e^{-1}}{n}.
51 punct
Mai precis, lim⁡n→∞nIn=e−1\lim_{n \to \infty} n I_n = e^{-1}.
61 punct
Verificare numerică: pentru n=0n=0, I0=1−e−1≈0.6321I_0 = 1 - e^{-1} \approx 0.6321, iar e−1/1≈0.3679e^{-1}/1 \approx 0.3679, dar limita este e−1e^{-1} pentru nn mare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.