GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie f:[1,e]→Rf: [1, e] \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Demonstrați inegalitatea 1e≤f(x)≤12\frac{1}{e} \leq f(x) \leq \frac{1}{2} pentru x∈[1,e]x \in [1, e], folosind derivate. b) Aplicați teorema lui Lagrange funcției ff pe intervalul [1,e][1, e] pentru a demonstra că există c∈(1,e)c \in (1, e) astfel încât 1e−12=f′(c)(e−1)\frac{1}{e} - \frac{1}{2} = f'(c)(e-1). c) Folosind punctul b), demonstrați că 1e<12−1e2\frac{1}{e} < \frac{1}{2} - \frac{1}{e^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}. f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈[1,e)x \in [1, e) (crescătoare), f′(e)=0f'(e)=0. Maximul în x=ex=e: f(e)=1ef(e)=\frac{1}{e}, minimul în x=1x=1: f(1)=0f(1)=0. Corectie: f(1)=0f(1)=0, f(e)=1/ef(e)=1/e, dar ff crescătoare, deci 0≤f(x)≤1/e0 \leq f(x) \leq 1/e. Se ajustează: inegalitatea corectă: 0≤f(x)≤1/e0 \leq f(x) \leq 1/e
23 puncte
Teorema Lagrange: există c∈(1,e)c \in (1, e) cu f′(c)=f(e)−f(1)e−1=1/e−0e−1=1e(e−1)f'(c) = \frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1/e - 0}{e-1} = \frac{1}{e(e-1)}
33 puncte
f′(c)=1−ln⁡cc2=1e(e−1)f'(c) = \frac{1 - \ln c}{c^2} = \frac{1}{e(e-1)}. Deoarece c∈(1,e)c \in (1, e), ln⁡c∈(0,1)\ln c \in (0,1), deci 1−ln⁡c>01 - \ln c > 0. Atunci 1−ln⁡cc2=1e(e−1)\frac{1 - \ln c}{c^2} = \frac{1}{e(e-1)}
42 puncte
Din c>1c>1, c2>1c^2 > 1, deci 1−ln⁡c1>1e(e−1)\frac{1 - \ln c}{1} > \frac{1}{e(e-1)}? Nu direct. Se folosește: f′(x)f'(x) descrescătoare? f′′(x)=−3+2ln⁡xx3f''(x) = \frac{-3+2\ln x}{x^3}, pe [1,e][1,e], f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<e3/2x<e^{3/2}, deci f′f' descrescătoare. Atunci f′(c)>f′(e)=0f'(c) > f'(e)=0, dar nu dă inegalitatea cerută. Se corectează: inegalitatea din c) poate fi demonstrată direct: 1/e<1/2−1/e2⇔2/e2<1/2−1/e⇔...1/e < 1/2 - 1/e^2 \Leftrightarrow 2/e^2 < 1/2 - 1/e \Leftrightarrow ... Se verifică numeric: 1/e≈0.36791/e \approx 0.3679, 1/2−1/e2≈0.5−0.1353=0.36471/2 - 1/e^2 \approx 0.5 - 0.1353 = 0.3647, deci 1/e>1/2−1/e21/e > 1/2 - 1/e^2. Enunțul poate fi ajustat sau demonstrația adaptată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.