GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex2−2x⋅sin⁡(πx)f(x) = e^{x^2 - 2x} \cdot \sin(\pi x). a) Determinați ecuațiile tangentelor la graficul lui ff în punctele de intersecție cu axa OxOx. b) Demonstrați că există cel puțin un punct c∈(0,2)c \in (0,2) în care tangenta la grafic este orizontală. c) Studiați natura punctelor de extrem local ale funcției g(x)=f(x)+λxg(x) = f(x) + \lambda x, în funcție de parametrul real λ\lambda.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Intersecții cu OxOx: f(x)=0⇔sin⁡(πx)=0⇒x=k,k∈Zf(x)=0 \Leftrightarrow \sin(\pi x)=0 \Rightarrow x=k, k \in \mathbb{Z}. Pe [0,2][0,2]: x=0,1,2x=0,1,2. f′(x)=ex2−2x[(2x−2)sin⁡(πx)+πcos⁡(πx)]f'(x)= e^{x^2-2x}[(2x-2)\sin(\pi x) + \pi \cos(\pi x)]
22 puncte
Tangente în x=0x=0: f′(0)=e0[(−2)⋅0+π⋅1]=πf'(0)= e^0[(-2)\cdot 0 + \pi \cdot 1] = \pi, ecuația y=πxy=\pi x. În x=1x=1: f′(1)=e−1[0⋅0+π⋅(−1)]=−π/ef'(1)= e^{-1}[0 \cdot 0 + \pi \cdot (-1)] = -\pi/e, ecuația y=−π/e(x−1)y=-\pi/e (x-1). În x=2x=2: f′(2)=e0[(2)⋅0+π⋅1]=πf'(2)= e^0[(2)\cdot 0 + \pi \cdot 1] = \pi, ecuația y=π(x−2)y=\pi (x-2)
32 puncte
Pentru tangenta orizontală: f′(c)=0⇔(2c−2)sin⁡(πc)+πcos⁡(πc)=0f'(c)=0 \Leftrightarrow (2c-2)\sin(\pi c) + \pi \cos(\pi c)=0. Se definește h(c)=(2c−2)sin⁡(πc)+πcos⁡(πc)h(c)= (2c-2)\sin(\pi c) + \pi \cos(\pi c), h(0)=π>0h(0)=\pi >0, h(1)=−π<0h(1)= -\pi <0, deci există c∈(0,1)c \in (0,1) cu h(c)=0h(c)=0 (Teorema lui Bolzano)
42 puncte
g′(x)=f′(x)+λg'(x)=f'(x)+\lambda. Puncte critice: f′(x)=−λf'(x)=-\lambda. Se studiază mulțimea valorilor lui f′f'.
52 puncte
f′(x)f'(x) este mărginită? Da, deoarece factorii sunt mărginiți. Se discută cazurile: λ\lambda în afara intervalului valorilor lui f′f' (fără puncte critice), λ\lambda în interior (există puncte critice, se studiază semnul derivatei a doua pentru natura extremelor).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.