GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Fie α,β∈(0,π/2)\alpha, \beta \in (0, \pi/2) astfel încât tan⁡α=2\tan \alpha = 2 și tan⁡β=3\tan \beta = 3. Să se calculeze α+β\alpha + \beta și să se deducă valoarea lui tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) fără a folosi direct formula de adunare, ci prin reducere la primul cadran și folosind proprietăți trigonometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
tan⁡α=2\tan \alpha = 2, deci α=arctan⁡2\alpha = \arctan 2, și tan⁡β=3\tan \beta = 3, deci β=arctan⁡3\beta = \arctan 3. Atunci α+β∈(0,π)\alpha + \beta \in (0, \pi).
22 puncte
Folosind formula: tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=2+31−2⋅3=51−6=−1\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2 + 3}{1 - 2\cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = -1.
32 puncte
Deci tan⁡(α+β)=−1\tan(\alpha + \beta) = -1, ceea ce implică α+β=3π4\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4} sau 7π4\frac{7\pi}{4}, dar din domeniu (0,π)(0, \pi), rămâne 3π4\frac{3\pi}{4}.
42 puncte
Pentru a demonstra fără formula directă: se consideră un triunghi dreptunghic cu unghiurile α\alpha și β\beta într-o configurație care să dea tan⁡(α+β)=−1\tan(\alpha + \beta) = -1. De exemplu, se poate folosi identitatea sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta și cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta.
52 puncte
Din tan⁡α=2\tan \alpha = 2, sin⁡α=2/5\sin \alpha = 2/\sqrt{5}, cos⁡α=1/5\cos \alpha = 1/\sqrt{5}; din tan⁡β=3\tan \beta = 3, sin⁡β=3/10\sin \beta = 3/\sqrt{10}, cos⁡β=1/10\cos \beta = 1/\sqrt{10}. Atunci sin⁡(α+β)=(2/5)(1/10)+(1/5)(3/10)=(2+3)/50=5/50=5/(52)=1/2\sin(\alpha + \beta) = (2/\sqrt{5})(1/\sqrt{10}) + (1/\sqrt{5})(3/\sqrt{10}) = (2 + 3)/\sqrt{50} = 5/\sqrt{50} = 5/(5\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}; cos⁡(α+β)=(1/5)(1/10)−(2/5)(3/10)=(1−6)/50=−5/50=−1/2\cos(\alpha + \beta) = (1/\sqrt{5})(1/\sqrt{10}) - (2/\sqrt{5})(3/\sqrt{10}) = (1 - 6)/\sqrt{50} = -5/\sqrt{50} = -1/\sqrt{2}; deci tan⁡(α+β)=−1\tan(\alpha + \beta) = -1, confirmând α+β=3π/4\alpha + \beta = 3\pi/4, cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.