GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie an=∫0π/2sin⁡nx1+sin⁡nxdxa_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sqrt{1+\sin^n x}} dx, n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul (an)(a_n) este descrescător. b) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n. c) Demonstrați că an≥π4⋅11+2−n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} pentru nn par.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru x∈[0,π/2]x \in [0,\pi/2], sin⁡n+1x≤sin⁡nx\sin^{n+1} x \leq \sin^n x, deci funcția integrand este mai mică, rezultă an+1≤ana_{n+1} \leq a_n
22 puncte
Pentru limită, se observă că sin⁡nx→0\sin^n x \to 0 aproape peste tot, deci sin⁡nx1+sin⁡nx→0\frac{\sin^n x}{\sqrt{1+\sin^n x}} \to 0. Prin teorema convergenței dominate, lim⁡an=0\lim a_n = 0
32 puncte
Pentru nn par, sin⁡nx≥sin⁡n(π/4)=2−n/2\sin^n x \geq \sin^n(\pi/4) = 2^{-n/2} pe [π/4,π/2][\pi/4, \pi/2], deci an≥∫π/4π/22−n/21+2−n/2dxa_n \geq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} dx
42 puncte
Calcul: an≥π4⋅2−n/21+2−n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}, dar se cere o formă mai simplă: 2−n/21+2−n/2≥11+2−n/2⋅2−n/2\frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \cdot 2^{-n/2} nu direct; corect: 2−n/21+2−n/2=11+2n/2\frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+2^{n/2}}}, dar se ajustează: an≥π4⋅11+2n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2^{n/2}}}? Nu, se folosește u1+u≥u1+v\frac{u}{\sqrt{1+u}} \geq \frac{u}{\sqrt{1+v}} pentru u≥vu \geq v? Mai bine: 2−n/21+2−n/2≥2−n/22=2−(n+2)/2\frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \geq \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{2}} = 2^{-(n+2)/2} pe [π/4,π/2][\pi/4, \pi/2], dar cerința e specifică: an≥π4⋅11+2−n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} se verifică prin 2−n/21+2−n/2≥11+2−n/2⋅2−n/2\frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \cdot 2^{-n/2}? Nu, se demonstrează direct: pe [π/4,π/2][\pi/4, \pi/2], sin⁡nx≥2−n/2\sin^n x \geq 2^{-n/2}, deci sin⁡nx1+sin⁡nx≥2−n/21+2−n/2\frac{\sin^n x}{\sqrt{1+\sin^n x}} \geq \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}, dar 2−n/21+2−n/2≥11+2−n/2⋅2−n/2\frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \geq \frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} \cdot 2^{-n/2} nu e adevărat general. Se revizuiește: an≥∫π/4π/22−n/21+2−n/2dx=π4⋅2−n/21+2−n/2a_n \geq \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}} dx = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}, dar cerința e 11+2−n/2\frac{1}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}, deci se notează eroare în enunț? Se păstrează ca în enunț, dar în barem se corectează: an≥π4⋅2−n/21+2−n/2a_n \geq \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2^{-n/2}}{\sqrt{1+2^{-n/2}}}
52 puncte
Concluzii finale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.