GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(120011001)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(21−1030102)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A3−2A2+A)\det(A^3 - 2A^2 + A). b) Rezolvați ecuația matriceală AX+XB=CAX + XB = C, unde C=(541252103)C = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}. c) Folosind teorema Cayley-Hamilton pentru BB, calculați B−1B^{-1} și tr(B2024)\text{tr}(B^{2024}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Polinomul caracteristic al lui AA este pA(λ)=(λ−1)3p_A(\lambda) = (\lambda - 1)^3, deci A3−2A2+A=(A−I)3=O3A^3 - 2A^2 + A = (A - I)^3 = O_3, determinantul este 0.
23 puncte
Ecuația AX+XB=CAX + XB = C se rezolvă vectorizând: (I⊗A+BT⊗I)vec(X)=vec(C)(I \otimes A + B^T \otimes I) \text{vec}(X) = \text{vec}(C). Se calculează matricea Kronecker și se rezolvă sistemul liniar, obținând X=(100010001)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
33 puncte
Polinomul caracteristic al lui BB: pB(λ)=λ3−7λ2+16λ−12=(λ−2)(λ−3)(λ−2)p_B(\lambda) = \lambda^3 - 7\lambda^2 + 16\lambda - 12 = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-2). Din Cayley-Hamilton, B3−7B2+16B−12I=OB^3 - 7B^2 + 16B - 12I = O, deci B−1=112(B2−7B+16I)B^{-1} = \frac{1}{12}(B^2 - 7B + 16I).
42 puncte
tr(B2024)=22024+32024+22024=2⋅22024+32024\text{tr}(B^{2024}) = 2^{2024} + 3^{2024} + 2^{2024} = 2 \cdot 2^{2024} + 3^{2024}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.