GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă. Considerăm șirul Sn=∑k=1nf(kn)⋅1nS_n = \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}. a) Demonstrați că lim⁡n→∞Sn=∫01f(x)dx\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 f(x) dx. b) Aplicați pentru f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} și calculați lim⁡n→∞∑k=1ne−(k/n)2⋅1n\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n e^{-(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}. c) Estimați eroarea ∣Sn−∫01f(x)dx∣|S_n - \int_0^1 f(x) dx| dacă ff este lipschitziană cu constanta LL.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), SnS_n este o sumă Riemann pentru funcția ff pe intervalul [0,1][0,1] cu partiție echidistantă, deci converge la integrala definită, conform teoremei integralei Riemann.
22 puncte
Pentru b), lim⁡n→∞∑k=1ne−(k/n)2⋅1n=∫01e−x2dx\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n e^{-(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 e^{-x^2} dx. Această integrală nu are o formă elementară simplă, dar se poate exprima în funcție de funcția eroare: ∫01e−x2dx=π2erf(1)\int_0^1 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1).
32 puncte
Pentru c), dacă ff este LL-lipschitziană, atunci ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣|f(x) - f(y)| \leq L |x-y|. Pentru fiecare subinterval [k−1n,kn][\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}], ∣f(kn)−f(x)∣≤L⋅1n|f(\frac{k}{n}) - f(x)| \leq L \cdot \frac{1}{n} pentru xx în acel interval.
42 puncte
Eroarea totală: ∣Sn−∫01f(x)dx∣=∣∑k=1n∫(k−1)/nk/n(f(k/n)−f(x))dx∣≤∑k=1n∫(k−1)/nk/n∣f(k/n)−f(x)∣dx≤∑k=1n∫(k−1)/nk/nLndx=∑k=1nLn⋅1n=Ln|S_n - \int_0^1 f(x) dx| = |\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} (f(k/n) - f(x)) dx| \leq \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} |f(k/n) - f(x)| dx \leq \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \frac{L}{n} dx = \sum_{k=1}^n \frac{L}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{L}{n}.
51 punct
Deci ∣Sn−∫01f(x)dx∣≤Ln|S_n - \int_0^1 f(x) dx| \leq \frac{L}{n}.
61 punct
Aplicație numerică: pentru f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}, LL poate fi estimată ca ∣f′(x)∣=∣−2xe−x2∣≤2e−0=2|f'(x)| = | -2x e^{-x^2}| \leq 2e^{-0} = 2 pe [0,1][0,1], deci L=2L=2, și eroarea este cel mult 2/n2/n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.