GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Se dă funcția parametrică x(t)=t2−ln⁡tx(t) = t^2 - \ln t, y(t)=t+1ty(t) = t + \frac{1}{t}, t>0t > 0. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției yy în raport cu xx. b) Studiați convexitatea/concavitatea graficului parametric. c) Determinați asimptotele graficului pentru t→0+t \to 0^+ și t→∞t \to \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
dydx=y′(t)x′(t)=1−1t22t−1t=t2−1t2⋅t2t2−1=t2−1t(2t2−1)\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{1 - \frac{1}{t^2}}{2t - \frac{1}{t}} = \frac{t^2 - 1}{t^2} \cdot \frac{t}{2t^2 - 1} = \frac{t^2 - 1}{t(2t^2 - 1)}. Semnul: numitor pozitiv pentru t>12t>\frac{1}{\sqrt{2}}, negativ pentru 0<t<120<t<\frac{1}{\sqrt{2}} (exceptând t=1t=1)
23 puncte
Monotonie: dydx>0\frac{dy}{dx} > 0 pentru t∈(12,1)∪(1,∞)t \in (\frac{1}{\sqrt{2}}, 1) \cup (1, \infty) (crescătoare), <0<0 pentru t∈(0,12)t \in (0, \frac{1}{\sqrt{2}}) (descrescătoare). Puncte critice: t=1t=1 (derivată zero), t=12t=\frac{1}{\sqrt{2}} (derivată infinită, tangentă verticală)
33 puncte
Convexitate: d2ydx2=ddt(dydx)x′(t)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right)}{x'(t)}. Se calculează derivata lui dydx\frac{dy}{dx} în raport cu tt și se studiază semnul. Rezultă intervale de convexitate/concavitate în funcție de tt.
42 puncte
Asimptote: Pentru t→0+t \to 0^+: x→∞x \to \infty, y→∞y \to \infty, nu asimptotă orizontală/verticală evidentă. Se caută asimptotă oblică: m=lim⁡t→0+yx=0m = \lim_{t \to 0^+} \frac{y}{x} = 0, n=lim⁡t→0+(y−mx)=∞n = \lim_{t \to 0^+} (y - m x) = \infty, deci nu există. Pentru t→∞t \to \infty: x∼t2x \sim t^2, y∼ty \sim t, deci y∼xy \sim \sqrt{x}, nu asimptotă liniară.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.