GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricele A=(21−10)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și B=(1201)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Rezolvați ecuația AXB=CAXB = C, unde C=(58−2−3)C = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}. b) Calculați (A⊗B)2(A \otimes B)^2, unde ⊗\otimes denotă produsul Kronecker. c) Determinați det⁡(A2024⊗B2024)\det(A^{2024} \otimes B^{2024}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Ecuația AXB=CAXB = C implică X=A−1CB−1X = A^{-1} C B^{-1}. Se calculează inversele: A−1=(0−112)A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B−1=(1−201)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, și se obține X=(2110)X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
23 puncte
A⊗B=(2B1B−1B0B)=(24120201−2−4000−200)A \otimes B = \begin{pmatrix} 2B & 1B \\ -1B & 0B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Se calculează (A⊗B)2(A \otimes B)^2 prin înmulțire directă.
33 puncte
det⁡(A⊗B)=(det⁡A)2⋅(det⁡B)2\det(A \otimes B) = (\det A)^2 \cdot (\det B)^2, deoarece pentru matrice 2×22 \times 2, det⁡(A⊗B)=(det⁡A)n(det⁡B)m\det(A \otimes B) = (\det A)^n (\det B)^m cu dimensiuni adecvate. Aici, det⁡A=1\det A = 1, det⁡B=1\det B = 1, deci det⁡(A⊗B)=1\det(A \otimes B) = 1.
42 puncte
det⁡(A2024⊗B2024)=(det⁡(A2024))2⋅(det⁡(B2024))2=12024⋅12024=1\det(A^{2024} \otimes B^{2024}) = (\det(A^{2024}))^2 \cdot (\det(B^{2024}))^2 = 1^{2024} \cdot 1^{2024} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.