GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=∫0π/2sin⁡nx1+sin⁡nxdxa_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sqrt{1 + \sin^n x}} dx. a) Demonstrați că an≤∫0π/2sin⁡nx dxa_n \leq \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx și deduceți că lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0. b) Folosind substituția t=sin⁡xt = \sin x, exprimați ana_n ca o integrală în tt și deduceți o formulă de recurență pentru In=∫01tn1+tndtI_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} dt. c) Calculați lim⁡n→∞n⋅an\lim_{n \to \infty} n \cdot a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru a), inegalitatea: sin⁡nx1+sin⁡nx≤sin⁡nx\frac{\sin^n x}{\sqrt{1 + \sin^n x}} \leq \sin^n x pe [0,π/2][0, \pi/2] deoarece 1+sin⁡nx≥1\sqrt{1 + \sin^n x} \geq 1. Atunci an≤∫0π/2sin⁡nx dx=Ina_n \leq \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = I_n (unde InI_n este integrala clasică).
22 puncte
Se știe că In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx satisface In→0I_n \to 0 și In+1≤InI_{n+1} \leq I_n. Prin criteriul cleștelui, din 0≤an≤In0 \leq a_n \leq I_n și In→0I_n \to 0, rezultă an→0a_n \to 0.
32 puncte
Pentru b), substituția t=sin⁡xt = \sin x, dx=dt1−t2dx = \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}, x:0→π/2x: 0 \to \pi/2 corespunde t:0→1t: 0 \to 1. Atunci an=∫01tn1+tn⋅11−t2dta_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt. Nu se obține direct o recurență simplă pentru ana_n, dar pentru In=∫01tn1+tndtI_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} dt (fără factorul 1/1−t21/\sqrt{1 - t^2}), se poate încerca integrarea prin părți sau substituții.
42 puncte
O abordare: In=∫01tn1+tndtI_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} dt. Fie u=tn/2u = t^{n/2}, dar nu este standard. Mai simplu, se poate demonstra o inegalitate sau se poate folosi pentru c). Pentru recurență, se notează Jn=∫01tn1+tndtJ_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} dt și se integrează prin părți: Jn=t⋅tn1+tn∣01−∫01t⋅ntn−11+tn−tn⋅ntn−121+tn1+tndtJ_n = \left. t \cdot \frac{t^n}{\sqrt{1 + t^n}} \right|_0^1 - \int_0^1 t \cdot \frac{n t^{n-1} \sqrt{1 + t^n} - t^n \cdot \frac{n t^{n-1}}{2\sqrt{1 + t^n}}}{1 + t^n} dt, dar este complicat. Se poate lăsa ca expresie.
52 puncte
Pentru c), se estimează ana_n: pe [0,π/2][0, \pi/2], sin⁡x≤x\sin x \leq x, deci an≥∫0π/2xn1+xndxa_n \geq \int_0^{\pi/2} \frac{x^n}{\sqrt{1 + x^n}} dx (nu direct). Alternativ, se folosește teorema de medie: există cn∈[0,π/2]c_n \in [0, \pi/2] astfel încât an=11+sin⁡ncn∫0π/2sin⁡nx dxa_n = \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}} \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx. Dar ∫0π/2sin⁡nx dx∼π2n\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} pentru nn mare. Atunci nan∼n⋅11+sin⁡ncn⋅π2n=πn2⋅11+sin⁡ncnn a_n \sim n \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2n}} = \sqrt{\frac{\pi n}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}}. Deoarece sin⁡ncn→0\sin^n c_n \to 0, 11+sin⁡ncn→1\frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}} \to 1, deci nan→∞n a_n \to \infty? Contradicție cu an→0a_n \to 0. Corect: ∫0π/2sin⁡nx dx∼π2n\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}, deci nan∼n⋅11+sin⁡ncn⋅π2n=πn2⋅11+sin⁡ncnn a_n \sim n \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2n}} = \sqrt{\frac{\pi n}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \sin^n c_n}}, care tinde la ∞\infty, deci limita este ∞\infty. Dar se poate verifica: pentru nn mare, an≈∫0π/2sin⁡nx dx≈π2na_n \approx \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \approx \sqrt{\frac{\pi}{2n}}, deci nan≈πn2→∞n a_n \approx \sqrt{\frac{\pi n}{2}} \to \infty. Deci lim⁡n→∞nan=∞\lim_{n \to \infty} n a_n = \infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.