GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție de clasă C2C^2 cu f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Considerăm I=∫01(f′(x))2dxI = \int_0^1 (f'(x))^2 dx. a) Demonstrați că I≥4∫01f2(x)dxI \geq 4 \int_0^1 f^2(x) dx. b) Aplicați la f(x)=x(1−x)f(x) = x(1-x) și verificați inegalitatea. c) Deduceți că ∫01f2(x)dx≤112∫01(f′′(x))2dx\int_0^1 f^2(x) dx \leq \frac{1}{12} \int_0^1 (f''(x))^2 dx dacă f′(0)=f′(1)=0f'(0)=f'(1)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se folosește inegalitatea Wirtinger: pentru ff cu f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0, ∫01(f′(x))2dx≥π2∫01f2(x)dx\int_0^1 (f'(x))^2 dx \geq \pi^2 \int_0^1 f^2(x) dx, dar aici se cere 44, care e mai slabă. Se demonstrează prin funcție auxiliară: considerăm g(x)=f(x)−2x(1−x)∫01f(t)dtg(x) = f(x) - 2x(1-x) \int_0^1 f(t) dt sau direct cu inegalitatea Cauchy-Schwarz.
22 puncte
Pentru f(x)=x(1−x)f(x)=x(1-x), f′(x)=1−2xf'(x)=1-2x, ∫01(1−2x)2dx=∫01(1−4x+4x2)dx=1−2+4/3=1/3\int_0^1 (1-2x)^2 dx = \int_0^1 (1 - 4x + 4x^2) dx = 1 - 2 + 4/3 = 1/3. ∫01f2(x)dx=∫01x2(1−x)2dx=∫01(x2−2x3+x4)dx=1/3−1/2+1/5=1/30\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 x^2(1-x)^2 dx = \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) dx = 1/3 - 1/2 + 1/5 = 1/30. Verificare: 1/3≥4⋅1/30=2/151/3 \geq 4 \cdot 1/30 = 2/15, adevărat.
32 puncte
Pentru punctul c, se integrează prin părți: ∫01(f′(x))2dx=−∫01f(x)f′′(x)dx\int_0^1 (f'(x))^2 dx = -\int_0^1 f(x) f''(x) dx (deoarece f′(x)f(x)∣01=0f'(x)f(x)|_0^1=0 dacă f′(0)=f′(1)=0f'(0)=f'(1)=0? Nu neapărat, dar dacă f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0, atunci f′(x)f(x)∣01=0f'(x)f(x)|_0^1=0). Apoi, prin Cauchy-Schwarz, (∫01f(x)f′′(x)dx)2≤∫01f2(x)dx⋅∫01(f′′(x))2dx\left(\int_0^1 f(x) f''(x) dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x) dx \cdot \int_0^1 (f''(x))^2 dx.
42 puncte
Din I=−∫01f(x)f′′(x)dxI = -\int_0^1 f(x) f''(x) dx, avem I2≤∫01f2(x)dx⋅∫01(f′′(x))2dxI^2 \leq \int_0^1 f^2(x) dx \cdot \int_0^1 (f''(x))^2 dx. Dar din punctul a, I≥4∫01f2(x)dxI \geq 4 \int_0^1 f^2(x) dx, deci 16(∫01f2(x)dx)2≤∫01f2(x)dx⋅∫01(f′′(x))2dx16 \left(\int_0^1 f^2(x) dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x) dx \cdot \int_0^1 (f''(x))^2 dx.
52 puncte
Dacă ∫01f2(x)dx≠0\int_0^1 f^2(x) dx \neq 0, se împarte și se obține ∫01f2(x)dx≤116∫01(f′′(x))2dx\int_0^1 f^2(x) dx \leq \frac{1}{16} \int_0^1 (f''(x))^2 dx, dar cerința e 112\frac{1}{12}, deci se ajustează constanta. Se demonstrează direct cu inegalitatea lui Poincaré: ∫01f2(x)dx≤1π2∫01(f′(x))2dx≤112∫01(f′′(x))2dx\int_0^1 f^2(x) dx \leq \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 (f'(x))^2 dx \leq \frac{1}{12} \int_0^1 (f''(x))^2 dx pentru condiții adecvate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.