GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Să se rezolve ecuația trigonometrică: arcsin⁡(2x)+arccos⁡(x)=π6\arcsin(2x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{6} și să se determine domeniul de definiție al soluțiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul: pentru arcsin⁡(2x)\arcsin(2x): 2x∈[−1,1]2x \in [-1, 1], deci x∈[−1/2,1/2]x \in [-1/2, 1/2]. Pentru arccos⁡(x)\arccos(x): x∈[−1,1]x \in [-1, 1]. Intersecția: x∈[−1/2,1/2]x \in [-1/2, 1/2].
22 puncte
Notăm α=arcsin⁡(2x)\alpha = \arcsin(2x), deci sin⁡α=2x\sin \alpha = 2x cu α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2], și β=arccos⁡(x)\beta = \arccos(x), deci cos⁡β=x\cos \beta = x cu β∈[0,π]\beta \in [0, \pi]. Ecuația este α+β=π/6\alpha + \beta = \pi/6.
32 puncte
Se aplică cosinus ambelor părți: cos⁡(α+β)=cos⁡(π/6)=3/2\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2. Dar cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta.
42 puncte
Din sin⁡α=2x\sin \alpha = 2x, cos⁡α=1−4x2\cos \alpha = \sqrt{1 - 4x^2} (semnul pozitiv deoarece α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] și cosinusul este nenegativ acolo). Din cos⁡β=x\cos \beta = x, sin⁡β=1−x2\sin \beta = \sqrt{1 - x^2} (semnul pozitiv deoarece β∈[0,π]\beta \in [0, \pi] și sinusul este nenegativ acolo, exceptând cazul β=π\beta = \pi care dă x=−1x = -1 dar nu e în domeniu).
52 puncte
Ecuația devine: 1−4x2⋅x−2x⋅1−x2=3/2\sqrt{1 - 4x^2} \cdot x - 2x \cdot \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{3}/2. Se rezolvă această ecuație în x∈[−1/2,1/2]x \in [-1/2, 1/2]. Se poate încerca x=1/4x = 1/4: 1−1/4=3/2\sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3}/2, 1−1/16=15/4\sqrt{1 - 1/16} = \sqrt{15}/4, verificare: (15/4)(1/4)−2(1/4)(1−1/16)=15/16−(1/2)(15/4)=15/16−15/8=−15/16≠3/2(\sqrt{15}/4)(1/4) - 2(1/4)(\sqrt{1 - 1/16}) = \sqrt{15}/16 - (1/2)(\sqrt{15}/4) = \sqrt{15}/16 - \sqrt{15}/8 = -\sqrt{15}/16 \neq \sqrt{3}/2. Se rezolvă sistematic, obținând eventual x=−1/2x = -1/2 sau altă valoare, cu verificare în ecuația inițială, cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.