GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(a101a101a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați aa astfel încât AA să fie inversabilă. b) Pentru a=2a = 2, calculați AnA^n pentru n≥1n \geq 1 și demonstrați formula prin inducție matematică. c) Calculați det⁡(A10−2A5+I3)\det(A^{10} - 2A^5 + I_3) pentru a=2a = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
det⁡(A)=a(a2−1)−1(a)+0=a3−2a\det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a) + 0 = a^3 - 2a. AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci a≠0a \neq 0 și a≠±2a \neq \pm\sqrt{2}.
23 puncte
Pentru a=2a=2, A=(210121012)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Se demonstrează prin inducție că An=(F2n+2F2n+1F2nF2n+1F2n+2F2n+1F2nF2n+1F2n+2)A^n = \begin{pmatrix} F_{2n+2} & F_{2n+1} & F_{2n} \\ F_{2n+1} & F_{2n+2} & F_{2n+1} \\ F_{2n} & F_{2n+1} & F_{2n+2} \end{pmatrix}, unde FkF_k sunt numerele Fibonacci.
33 puncte
Se verifică cazul de bază n=1n=1 și pasul inductiv folosind relația de recurență a lui Fibonacci.
42 puncte
A10−2A5+I3=(A5−I)2A^{10} - 2A^5 + I_3 = (A^5 - I)^2. Calculând det⁡(A5−I)\det(A^5 - I) folosind formula de la punctul b, se obține det⁡=(F12−1)2−(F11)2=1442−892=20736−7921=12815\det = (F_{12} - 1)^2 - (F_{11})^2 = 144^2 - 89^2 = 20736 - 7921 = 12815.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.