GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(01−1101−110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A)\det(A), tr(A)\text{tr}(A) și det⁡(A2)\det(A^2). b) Demonstrați că A3=2AA^3 = 2A și deduceți o formulă pentru AnA^n (n≥1n \geq 1). c) Rezolvați ecuația matriceală X2=AX^2 = A, unde XX este o matrice 3×33 \times 3 cu elemente reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
det⁡(A)=0⋅∣0110∣−1⋅∣11−10∣+(−1)⋅∣10−11∣=−1(0−(−1))−1(1−0)=−1(1)−1(1)=−2\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 - (-1)) -1(1 - 0) = -1(1) -1(1) = -2. tr(A)=0+0+0=0\text{tr}(A) = 0+0+0=0. A2=(2−1−1−12−1−1−12)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, det⁡(A2)=(det⁡A)2=4\det(A^2) = (\det A)^2 = 4.
22 puncte
Calculăm A3=A⋅A2=(01−1101−110)(2−1−1−12−1−1−12)=(02−2202−220)=2AA^3 = A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = 2A.
32 puncte
Din A3=2AA^3 = 2A, pentru nn impar: An=2(n−1)/2AA^n = 2^{(n-1)/2} A, pentru nn par: An=2n/2I3A^n = 2^{n/2} I_3 (demonstrație prin inducție folosind A2=2I3−A2A^2 = 2I_3 - A^2 din calcul direct, dar mai simplu: A4=A⋅A3=2A2A^4 = A \cdot A^3 = 2A^2, etc.).
42 puncte
Ecuația X2=AX^2 = A. Din A3=2AA^3 = 2A, polinomul minimal este mA(λ)=λ3−2λ=λ(λ2−2)m_A(\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda = \lambda(\lambda^2 - 2). Rădăcinile: 00, ±2\pm\sqrt{2}. Matricea AA este diagonalizabilă cu valori proprii 00, 2\sqrt{2}, −2-\sqrt{2}.
52 puncte
Soluțiile XX sunt matrice care au pătratul egal cu AA, de exemplu, X=(012−1212012−12120)X = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix} (obținută prin diagonalizare: A=PDP−1A = PDP^{-1}, cu D=diag(0,2,−2)D = \text{diag}(0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}), atunci X=Pdiag(0,24,i24)P−1X = P \text{diag}(0, \sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) P^{-1}, dar pentru elemente reale, se pot lua combinații). Există mai multe soluții, inclusiv complexe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.