GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(2−10−12−10−12)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A)\det(A) și tr(A2)\text{tr}(A^2). b) Folosind teorema Cayley-Hamilton, exprimați A−1A^{-1} ca polinom în AA. c) Determinați toate matricele XX care comută cu AA (adică AX=XAAX = XA) și sunt de forma X=(abcbdecef)X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} simetrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
det⁡(A)=2⋅∣2−1−12∣−(−1)⋅∣−1−102∣+0=2(4−1)+1(−2−0)=6−2=4\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 = 2(4-1) + 1(-2-0) = 6 - 2 = 4. A2=(5−41−46−41−45)A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -4 & 6 & -4 \\ 1 & -4 & 5 \end{pmatrix}, tr(A2)=5+6+5=16\text{tr}(A^2) = 5+6+5=16.
22 puncte
Polinomul caracteristic: PA(λ)=det⁡(A−λI3)=−λ3+6λ2−10λ+4P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_3) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 10\lambda + 4. Cayley-Hamilton: A3−6A2+10A−4I3=O3A^3 - 6A^2 + 10A - 4I_3 = O_3.
32 puncte
Din A3−6A2+10A−4I3=O3A^3 - 6A^2 + 10A - 4I_3 = O_3, înmulțim cu A−1A^{-1}: A2−6A+10I3−4A−1=O3A^2 - 6A + 10I_3 - 4A^{-1} = O_3, deci A−1=14(A2−6A+10I3)A^{-1} = \frac{1}{4}(A^2 - 6A + 10I_3).
42 puncte
Ecuația AX=XAAX = XA. Fie X=(abcbdecef)X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix}. Calculăm AXAX și XAXA și egalăm.
52 puncte
AX=(2a−b2b−d2c−e−a+2b−c−b+2d−e−c+2e−f−b+2c−d+2e−e+2f)AX = \begin{pmatrix} 2a - b & 2b - d & 2c - e \\ -a + 2b - c & -b + 2d - e & -c + 2e - f \\ -b + 2c & -d + 2e & -e + 2f \end{pmatrix}, XA=(2a−b−a+2b−c−b+2c2b−d−b+2d−e−d+2e2c−e−c+2e−f−e+2f)XA = \begin{pmatrix} 2a - b & -a + 2b - c & -b + 2c \\ 2b - d & -b + 2d - e & -d + 2e \\ 2c - e & -c + 2e - f & -e + 2f \end{pmatrix}. Egalând, obținem condiții: 2b−d=−a+2b−c2b - d = -a + 2b - c implică d=a+cd = a + c, etc. Soluția generală: X=(abcba+cbcba+2c)X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a+c & b \\ c & b & a+2c \end{pmatrix}, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.