GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricele A=(3−111)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} și B=(2102)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. a) Determinați polinomul anulator minimal al lui AA și al lui BB. b) Rezolvați ecuația matriceală X2+AX=BX^2 + AX = B, unde XX este o matrice 2×22 \times 2. c) Calculați tr((A+B)2023)\text{tr}((A+B)^{2023}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Polinomul caracteristic al lui AA: pA(λ)=λ2−4λ+4=(λ−2)2p_A(\lambda) = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2, deci polinomul minimal este mA(λ)=(λ−2)2m_A(\lambda) = (\lambda-2)^2. Pentru BB: pB(λ)=(λ−2)2p_B(\lambda) = (\lambda-2)^2, minimal mB(λ)=(λ−2)2m_B(\lambda) = (\lambda-2)^2.
23 puncte
Ecuația X2+AX=BX^2 + AX = B se rescrie ca (X+A2)2=B+A24(X + \frac{A}{2})^2 = B + \frac{A^2}{4}. Se calculează A2=(8−440)A^2 = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}, apoi se rezolvă pentru XX, obținând două soluții: X=(1001)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și X=(−1−113)X = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
33 puncte
A+B=(5013)A+B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, cu valori proprii 55 și 33. tr((A+B)2023)=52023+32023\text{tr}((A+B)^{2023}) = 5^{2023} + 3^{2023}.
42 puncte
Verificarea soluțiilor în ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.