GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie In=∫01xnarctan⁡xdxI_n = \int_0^1 x^n \arctan x dx, n≥0n \geq 0. a) Demonstrați relația de recurență In+2=1n+3(π4−(n+1)In)I_{n+2} = \frac{1}{n+3} \left( \frac{\pi}{4} - (n+1)I_n \right). b) Calculați I0I_0 și I1I_1. c) Demonstrați că lim⁡n→∞nIn=12\lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Integrare prin părți: In=xn+1n+1arctan⁡x∣01−∫01xn+1(n+1)(1+x2)dx=π4(n+1)−1n+1∫01xn+11+x2dxI_n = \left. \frac{x^{n+1}}{n+1} \arctan x \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+x^2)} dx = \frac{\pi}{4(n+1)} - \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x^2} dx
22 puncte
Notăm Jn=∫01xn1+x2dxJ_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^2} dx. Atunci In=π4(n+1)−Jn+1n+1I_n = \frac{\pi}{4(n+1)} - \frac{J_{n+1}}{n+1}
32 puncte
Relația pentru JnJ_n: Jn+2+Jn=∫01xndx=1n+1J_{n+2} + J_n = \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}. Combinând cu expresia lui InI_n, se obține recurența cerută
42 puncte
I0=∫01arctan⁡xdx=π4−12ln⁡2I_0 = \int_0^1 \arctan x dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2, I1=∫01xarctan⁡xdx=π8−14+14ln⁡2I_1 = \int_0^1 x \arctan x dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \ln 2
52 puncte
Pentru limită: xn2≤xnarctan⁡x≤xn⋅π4\frac{x^n}{2} \leq x^n \arctan x \leq x^n \cdot \frac{\pi}{4} pe [0,1][0,1], deci 12(n+1)≤In≤π4(n+1)\frac{1}{2(n+1)} \leq I_n \leq \frac{\pi}{4(n+1)}, de unde lim⁡n→∞nIn=12\lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{2}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.