GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie z1,z2,z3∈Cz_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1 și z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0. a) Demonstrați că z1z2+z2z3+z3z1=0z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0. b) Demonstrați că z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul unitate. c) Calculați ∣z1−z2∣2+∣z2−z3∣2+∣z3−z1∣2|z_1 - z_2|^2 + |z_2 - z_3|^2 + |z_3 - z_1|^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, avem z1ˉ+z2ˉ+z3ˉ=0\bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = 0. Dar ziˉ=1zi\bar{z_i} = \frac{1}{z_i} deoarece ∣zi∣=1|z_i|=1. Deci 1z1+1z2+1z3=0\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0.
22 puncte
Aducem la numitor comun: z2z3+z3z1+z1z2z1z2z3=0\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0, deci z1z2+z2z3+z3z1=0z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0.
32 puncte
Considerăm polinomul P(z)=(z−z1)(z−z2)(z−z3)=z3−(z1+z2+z3)z2+(z1z2+z2z3+z3z1)z−z1z2z3=z3−z1z2z3P(z) = (z-z_1)(z-z_2)(z-z_3) = z^3 - (z_1+z_2+z_3)z^2 + (z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1)z - z_1 z_2 z_3 = z^3 - z_1 z_2 z_3. Deci rădăcinile sunt z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 satisfac z3=z1z2z3z^3 = z_1 z_2 z_3.
42 puncte
Fie w=z1z2z3w = z_1 z_2 z_3. Atunci ∣w∣=1|w|=1, și zi3=wz_i^3 = w pentru fiecare ii. Deci z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt rădăcini cubice ale lui ww, deci sunt egal distanțate pe cercul unitate, formând un triunghi echilateral.
52 puncte
Pentru un triunghi echilateral înscris în cercul unitate, latura este 3\sqrt{3}. Deci ∣zi−zj∣=3|z_i - z_j| = \sqrt{3} pentru i≠ji\neq j. Atunci suma ∣z1−z2∣2+∣z2−z3∣2+∣z3−z1∣2=3⋅(3)2=9|z_1-z_2|^2 + |z_2-z_3|^2 + |z_3-z_1|^2 = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.