GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricea A=(120012001)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați A2A^2 și A3A^3, apoi găsiți o formulă generală pentru AnA^n (n≥1n \geq 1) și demonstrați-o prin inducție matematică. b) Folosind teorema Cayley-Hamilton, determinați A−1A^{-1} și calculați tr(A2024+A−2024)\text{tr}(A^{2024} + A^{-2024}), unde tr(X)\text{tr}(X) este urma matricei XX.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
A2=(144014001)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, A3=(1612016001)A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 12 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Se observă că An=(12n2n(n−1)012n001)A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n & 2n(n-1) \\ 0 & 1 & 2n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} pentru n≥1n \geq 1.
22 puncte
Demonstrație prin inducție: pentru n=1n=1, A1=AA^1 = A verifică. Presupunem AkA^k ca mai sus și calculăm Ak+1=Ak⋅AA^{k+1} = A^k \cdot A, obținând formula pentru k+1k+1.
32 puncte
Polinomul caracteristic: PA(λ)=det⁡(A−λI3)=(1−λ)3P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_3) = (1-\lambda)^3, deci PA(A)=(I3−A)3=O3P_A(A) = (I_3 - A)^3 = O_3. Din A3−3A2+3A−I3=O3A^3 - 3A^2 + 3A - I_3 = O_3, rezultă A−1=3I3−3A+A2=(1−2401−2001)A^{-1} = 3I_3 - 3A + A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
42 puncte
A2024=(140484048⋅2023014048001)A^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 4048 & 4048 \cdot 2023 \\ 0 & 1 & 4048 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, A−2024=(A−1)2024=(1−40484048⋅202301−4048001)A^{-2024} = (A^{-1})^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & -4048 & 4048 \cdot 2023 \\ 0 & 1 & -4048 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (prin formula generală pentru A−1A^{-1}).
52 puncte
tr(A2024+A−2024)=tr(208096⋅2023020002)=2+2+2=6\text{tr}(A^{2024} + A^{-2024}) = \text{tr}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 8096 \cdot 2023 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2 + 2 + 2 = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.