GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie I(a)=∫0π/2dxa+sin⁡2xI(a) = \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{a + \sin^2 x}, a>0a > 0. a) Calculați I(a)I(a). b) Studiați monotonia lui I(a)I(a) pe (0,∞)(0,\infty). c) Calculați lim⁡a→0+I(a)\lim_{a \to 0^+} I(a) și lim⁡a→∞I(a)\lim_{a \to \infty} I(a).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru a), se face substituția t=tan⁡xt = \tan x, dx=dt1+t2dx = \frac{dt}{1+t^2}, sin⁡2x=t21+t2\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}. Atunci I(a)=∫0∞1a+t21+t2⋅dt1+t2=∫0∞dta(1+t2)+t2=∫0∞dta+(a+1)t2I(a) = \int_0^{\infty} \frac{1}{a + \frac{t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{\infty} \frac{dt}{a(1+t^2) + t^2} = \int_0^{\infty} \frac{dt}{a + (a+1)t^2}.
22 puncte
Aceasta este o integrală de forma ∫0∞dtα+βt2=1αβ⋅π2\int_0^{\infty} \frac{dt}{\alpha + \beta t^2} = \frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \cdot \frac{\pi}{2}, pentru α,β>0\alpha, \beta > 0. Aici α=a\alpha = a, β=a+1\beta = a+1, deci I(a)=1a(a+1)⋅π2I(a) = \frac{1}{\sqrt{a(a+1)}} \cdot \frac{\pi}{2}.
32 puncte
Pentru b), se studiază derivata: I′(a)=−π4⋅2a+1[a(a+1)]3/2<0I'(a) = -\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2a+1}{[a(a+1)]^{3/2}} < 0 pentru a>0a>0, deci I(a)I(a) este strict descrescătoare.
42 puncte
Pentru c), lim⁡a→0+I(a)=lim⁡a→0+π2a(a+1)=∞\lim_{a \to 0^+} I(a) = \lim_{a \to 0^+} \frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}} = \infty (căci numitorul tinde la 0).
51 punct
lim⁡a→∞I(a)=lim⁡a→∞π2a(a+1)=0\lim_{a \to \infty} I(a) = \lim_{a \to \infty} \frac{\pi}{2\sqrt{a(a+1)}} = 0.
61 punct
Verificare: pentru a=1a=1, I(1)=π22I(1) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}, ceea ce se poate calcula direct din integrala originală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.