GreuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

GreuDerivate
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=∫0x(t2−3t+2)e−tdtf(x) = \int_0^x (t^2 - 3t + 2)e^{-t} dt. a) Calculați f′(x)f'(x) și f′′(x)f''(x). b) Determinați punctele de extrem local ale lui ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact trei soluții reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
f′(x)=(x2−3x+2)e−xf'(x) = (x^2 - 3x + 2)e^{-x} (prin teorema fundamentală a calculului integral). f′′(x)=[(2x−3)e−x−(x2−3x+2)e−x]=(−x2+5x−5)e−xf''(x) = [(2x - 3)e^{-x} - (x^2 - 3x + 2)e^{-x}] = (-x^2 + 5x - 5)e^{-x}
23 puncte
Puncte critice: f′(x)=0⇔x2−3x+2=0⇒x=1f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x=1 sau x=2x=2. f′′(1)=(−1+5−5)e−1=−e−1<0f''(1) = (-1 + 5 - 5)e^{-1} = -e^{-1} < 0, deci maxim local în x=1x=1. f′′(2)=(−4+10−5)e−2=e−2>0f''(2) = (-4 + 10 - 5)e^{-2} = e^{-2} > 0, deci minim local în x=2x=2.
33 puncte
f(0)=0f(0)=0. f(1)=∫01(t2−3t+2)e−tdtf(1) = \int_0^1 (t^2-3t+2)e^{-t} dt. Se poate calcula sau estima semnul: pe [0,1][0,1], t2−3t+2>0t^2-3t+2 > 0, deci f(1)>0f(1) > 0. f(2)=∫02(t2−3t+2)e−tdtf(2) = \int_0^2 (t^2-3t+2)e^{-t} dt. Integrandul schimbă semnul pe [0,2][0,2] (rădăcinile 1 și 2), se estimează f(2)<0f(2) < 0.
42 puncte
ff continuă, f(0)=0f(0)=0, f(1)>0f(1)>0, f(2)<0f(2)<0, și lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x)? f(x)f(x) are limită finită (integrală convergentă), să zicem LL. Atunci pe [2,∞)[2, \infty), ff este crescătoare? f′(x)f'(x) pozitiv pentru x>2x>2? x2−3x+2>0x^2-3x+2 > 0 pentru x>2x>2, deci ff crescătoare pe [2,∞)[2,\infty), cu f(2)<0f(2)<0 și limită L>0L>0 (căci integrala de la 0 la infinit este pozitivă?), deci există o rădăcină în (2,∞)(2,\infty). Total: trei rădăcini: x=0x=0, una în (1,2)(1,2), una în (2,∞)(2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.